壁・風を考えるドップラー効果

壁ありドップラー効果

2種類の音

音源，観測者に加えて，音を反射する壁がある状況を考えみましょう。

この状況においては，観測者に「① 音源から直接届く音」と「② 反射壁に反射されてから届く音」の2種類の音が届きます。

それぞれの音について，振動数を求める方法を確認します。具体的に，以下の状況について，① の音と ② の音の振動数を求めてみましょう。

① 音源から直接届く音

壁のことは忘れて，通常のドップラー効果を考えればokです。

ドップラー効果の公式から，

$$\fp =\mskip 4mu\bun{c+v_0}{c-v\SUB{S}\mskip 5mu}f_0$$として求まります。

② 反射壁に反射されてから届く音

反射されて届く音の振動数を求めるにあたっては，2段階のStepで考える必要があります。

壁を観測者と考える

壁を観測者とみなして，壁が受け取る音の振動数 $f\SUB{R}$ をまずは求めます。

観測者である壁から音源を見る方向が速度の正の向きになることに注意して，ドップラー効果の公式を立てると，

$$f\SUB{R}=\mskip 4mu\bun{c-v\SUB{R}}{c+v\SUB{S}}f_0$$であることがわかります。

壁を音源として考える

壁を「振動数 $f\SUB{R}$ の音を出す音源」として考えます。この音を本来の観測者が観測したときの振動数を求めるので，本来の音源のことはいったん忘れましょう。

壁が音源，本来の観測者が観測者ですから，「観測者が壁を見る向き」が速度の正の向きになります。

ドップラー効果の公式を用いると，

$$\fp \prime =\mskip 4mu\bun{c+v_0}{c+v\SUB{R}\mskip 5mu}f\SUB{R}$$であることがわかりますね。

結果の統合

以上をまとめると，

$$\fp \prime =\mskip 4mu\bun{c+v_0}{c+v\SUB{R}\mskip 5mu}f\SUB{R}=\mskip 4mu\bun{c+v_0}{c+v\SUB{R}\mskip 5mu}\cdot\mskip 6mu\bun{c-v\SUB{R}}{c+v\SUB{S}}f_0$$が得られます。

繰り返しになりますが，必ずそれぞれのStepで図をかいて考えるようにしてください！

風ありドップラー効果

風による変化

風が吹いている場合についても，ドップラー効果を考えることができます。風が吹くことで変化するのは，音速です！

音が伝わる向きと同じ方向に風が吹けばその分音速は大きくなるし，逆の向きに風が吹けばその分音速は小さくなる，という当たり前の話ですね！

この際，「観測者が音源を見る向き」として考える速度の正の向きと，風の向きは関係ないので混合しないように注意してください！あくまで，「音が伝わる向きと同じ向きに風が吹いているかどうか」です！

(1) の解き方

まずは風のことを考えずにドップラー効果の公式を利用しましょう。

速度の正の向きが左向きになることに注意して，

$$f_1=\mskip 4mu\bun{c+u}{c-v}\mskip 5muf$$

となりますね。

続いて，風の影響を考えます。音は音源（左）から観測者（右）へと伝わっていきます。

この向きと同じ向きに風が吹いているので，ドップラー効果の公式における音速を $c\to c+w$ とすればokです。これより，

$$\fp =\mskip 4mu\bun{(c+w)+u}{(c+w)-v}\mskip 5muf$$

として答えが求まります。

(2) の解き方

ドップラー効果の公式の速度の正の向きは右向きです。

一方で，音は左から右に伝わります。音が伝わる向きと風の向きが反対向きとなっているので，音速を $c-w$ としてドップラー効果の公式を利用すればokです。

$$\fp =\mskip 4mu\bun{(c-w)-u}{(c-w)-v}\mskip 5muf$$

として答えが求まります。