速さの公式
速さを決める要素
物理基礎で弦振動について学習した際には，「弦を伝わる波の速さは，弦の材質と弦を張る張力によって決まる」とのみ述べましたが，具体的にどのような形で表されるのかを確認していきます。
線密度と張力
まず，「弦の材質」についてです。弦の単位長さあたりの質量は線密度と呼ばれます。$1\m$ あたりの質量 $\punit{kg/m}$ ですから，単位は $\punit{kg/m}$ ですね。
$\rho$ の文字を使って表されることが多いです。
次に，「弦を張る張力」について。これはそのままですね。弦の張力の大きさ $T$ です。
速さの公式
この 2 つの $\rho$ と $T$ を用いて，弦を伝わる波の速さは
$$v=\sqrt{\frac{T}{\rho}}$$で表されます。
証明については深く考えずに，確実に覚えてください！分子と分母をひっくり返したりしないように！
弦を伝わる波の速さ
弦の線密度を $\rho$，張力の大きさを $T$ としたとき，弦を伝わる波の速さ $v$ は，
$$v=\sqrt{\frac{T}{\rho}}$$で与えられる。
問題へのアプローチ
例題
図のように音叉と糸をつなぎ，糸の他端に質量 $M$ のおもりをぶらさげた。この状態で音叉を振動させると，弦に基本振動が生じた。このときの音叉の振動数を $f$，弦の線密度を $\rho$ として以下の問いに答えよ。
振動数が $\fp $ の音叉につなぎ替えると，弦に $n$ 個の腹が生じた。$\fp $ を求めよ。
おもりの質量を $M\prime $ に変えると，弦に $n$ 個の腹が生じた。$M\prime $ を求めよ。
弦の線密度を $\rho\prime $ に変えると，弦に $n$ 個の腹が生じた。$\rho\prime $ を求めよ。
解き方
問題文の状態で，$v=f\lambda$ の式について考えてみましょう。
おもりに関する力のつり合いから，弦の張力の大きさは $Mg$ であることがわかりますので，
$$v=\sqrt{\bun{Mg}{\rho}\mskip 5mu}$$となります。
弦には基本振動が生じていることから，弦の長さを $L$ としたとき，波長は $\lambda=2L$ として求まります。
振動数は音叉の振動数に等しく $f$ …ではないので気をつけてください！
図を見ると，音叉は縦つなぎになっているため，弦の振動数は $\bun{f}{2}\mskip 5mu$ です。
よって，
$$\sqrt{\bun{Mg}{\rho}\mskip 5mu}=\mskip 4mu\bun{f}{2}\mskip 5mu\cdot2L$$が成立することがわかります。
この式を元に，各値を代入していって考えてもよいのですが，この手の問題を解く際のポイントは，「$v=f\lambda$ の式の両辺の変化に注目する」です。この考え方が身に付くと，今回の例題のような問題を解くスピードが一気に上がりますので，しっかり習得しましょう！
(1) の解き方
もともと基本振動だった弦の振動が，$n$ 倍振動に変わります。
これはつまり，1つしか収まらなかった「唇の形」が，$n$ 個収まるようになったということですので，波長が $\Bun{1}{n}\mskip 5mu$ 倍になったことがわかります。
これは (2)，(3) についても同様です。
さて，このことを踏まえて $v=f\lambda$ の式の両辺の変化を考えてみましょう。
具体的な値で考えるのではなく，「何倍されたか」という変化のみに注目することがポイントです。
$M$ も $\rho$ も変化していないので，左辺の $v$ は変化しないはずですね。ということは，右辺の値も変化しないはずです。
$\lambda$ が $\Bun{1}{n}\mskip 5mu$ 倍になっているので，右辺全体の値が変化しないためには，$f$ が $n$ 倍されている必要があります。このことから，$\fp =nf$ であることがわかります。
(2)の解き方
弦に $n$ 倍振動が生じていることから，波長はやはり $\Bun{1}{n}\mskip 5mu$ 倍です。一方で，今回は音叉を変えていないので，振動数は変化していません。
では，$v=f\lambda$ の両辺の変化はどうなるでしょうか。
$\lambda$ が $\Bun{1}{n}\mskip 5mu$ 倍で，$f$ が不変なので，右辺は全体として $\Bun{1}{n}\mskip 5mu$ 倍になります。ということは，左辺の $v=\sqrt{\bun{Mg}{\rho}\mskip 5mu}$ も $\Bun{1}{n}\mskip 5mu$ 倍にならないといけません。
今回変化させているのは，おもりの質量 $M$ ですので，$\sqrt{\bun{Mg}{\rho}\mskip 5mu}$ が $\Bun{1}{n}\mskip 5mu$ 倍になったことから，$M\prime =\mskip 4mu\bun{1}{n^2}\mskip 5muM$ であることがわかりますね。
(3)の解き方
途中まで (2) と同様です。
$n$ 倍振動になったことによって，左辺の $v=\sqrt{\bun{Mg}{\rho}\mskip 5mu}$ も $\Bun{1}{n}\mskip 5mu$ 倍にならないといけません。
(3) で変化させているのは，弦の線密度 $\rho$ ですので，$\sqrt{\bun{Mg}{\rho}\mskip 5mu}$ が $\Bun{1}{n}\mskip 5mu$ 倍になったことから，$\rho\prime =n^2\rho$ であることが直ちにわかります。
総括
どうでしょう！慣れてくると，ほぼ一瞬で答えが出せるようになります。
弦振動で「何かを変化させる」タイプの問題が出たら，具体的な値を代入して考えるのではなく，「$v=f\lambda$ の式の両辺の変化に注目する」方法で考えましょう！
