干渉の一般論

干渉とは

干渉について

定在波について学習しました。2つの正弦波が重なり合うことで，激しく振動する媒質（腹）や，全く振動しない媒質（節）が生じましたね。

このように，波が重なり合うことで強め合ったり弱め合ったりする現象を干渉と呼びます。

今回のセクションでは，この干渉について考えていきます。

干渉条件の具体例

同位相の波源の場合

同位相で同波形の正弦波を送り出す2つの波源 $\rmS_1$，$\rmS_2$ があったとしましょう。「同位相で」というのは，常に同じタイミングで振動しているということです。

$\rmS_1$ から山が送られる瞬間には $\rmS_2$ からも山が送られて，$\rmS_1$ から谷が送られる瞬間には $\rmS_2$ からも谷が送られるわけですね。この2つの波源からそれぞれ，$l_1,\,l_2$ だけ離れた点 $\rmP$ で何が起こるかを考えてみましょう。

波源からの距離が等しい場所

はじめに，$l_1=l_2$ の場合を考えてみます。$\rmS_1$ と $\rmS_2$ からは常に同じ波が発生していて，$\rmP$ までの距離も等しいわけですから，$\rmP$ には常に同じ形の波が届きますよね。

$\rmS_1$ から山が届くときには $\rmS_2$ からも山が届いて，$\rmS_1$ から谷が届くときには $\rmS_2$ からも谷が届いて，といった具合です。

これらが重なり合わさると，常に元の波の $2$ 倍の変位となります。この状況は定在波の腹に対応しており，波が強め合うと表現します。

半波長分ズレている場合

続いて，$l_1-l_2=\mskip 4mu\bun{\lambda}{2}\mskip 5mu$ の状況を考えてみます。

$\rmS_1$ の方が $\rmS_2$ よりも $\rmP$ から $\Bun{\lambda}{2}\mskip 5mu$ だけ遠い状況です。少しイメージが湧きづらいと思うので，具体的に $l_1=4\lambda$，$l_2=\mskip 4mu\bun{7}{2}\mskip 5mu\lambda$ であるものとします。

このとき，$\rmS_1$ と $\rmP$ の間には波がちょうど $4$ つ，$\rmS_2$ と $\rmP$ の間には波が $3.5$ つだけ入ります。よって，$\rmS_1$ と $\rmS_2$ が山になっている瞬間，$\rmP$ には $\rmS_1$ から山が，$\rmS_2$ から谷が届きます。

山と谷はちょうど $-1$ 倍の関係ですから，重ね合わせると打ち消し合いますね。この状況は定在波の節に対応しており，波が弱め合うと表現します。

一般的な強め合いの条件式

一般的な場合

強め合いが起こる具体例として，$l_1=l_2$ の状況を考えました。

$\rmS_1\rmP$ と $\rmS_2\rmP$ を横に並べて考えていきます。

たとえば上図の状況について見てみましょう。$\rmS_1$，$\rmS_2$ から同じ位相で波が出ていて，$\rmP$ に届く波の変位を色付き矢印で表しています。

この変位が常に等しくなっていれば，2つの波が重なり合うことで $\rmP$ における変位は常に元の波の $2$ 倍となり，強め合いが起こることがわかりますね。この状況を数式で表現してみましょう。

数式での表現

あらためて，補助線を追加して図をかきなおします。

$\rmP$ に届く波の変位（色付き矢印）が等しくなっている図の状況では，$\rmS_1\rmP$ と $\rmS_2\rmP$ の間にちょうど波が1つ入ることがわかりますね。これを数式で表すと，

$$l_1-l_2=\lambda$$です。図ではちょうど波 $1$ つ分が入る状況で考えましたが，ぴったり $2$ つ分入るときも，$3$ つ分入るときにも同じく強め合いが起こります。

よって，

$$l_1-l_2=m\lambda\quad \stext{\hspace{-.5em}（$m$ は $0$ 以上の整数）}$$が一般的な強め合いの条件式であることがわかります。

一般的な弱め合いの条件式

同様の考え方で

先ほど確認した具体例では，$l_1-l_2=\mskip 4mu\bun{\lambda}{2}\mskip 5mu$ として考えましたが，これを一般化していきます。

$\rmP$ で波が弱め合うためには，$\rmS_1$，$\rmS_2$ から常に $-1$ 倍の関係にある変位の波が届く必要があります。

$\rmS_1$ から届く波は正の変位，$\rmS_2$ から届く波は負の変位となっていますが，大きさが同じで符号が反対なので，重ね合わせるとちょうど打ち消しあって $0$ になります。常にこの状況が成り立つので，$\rmP$ では波が弱め合うわけですね。

今回も補助線を加えて図を整理しました。図から，$\rmS_1\rmP$ と $\rmS_2\rmP$ の間にちょうど波が $1.5\,\left(=\mskip 4mu\bun32\right)$ 個だけ入っていることがわかりますね。これを数式で表すと，

$$l_1-l_2=\mskip 4mu\bun32\lambda$$です。波が $\Bun12$ 個分入るときも，$\bun52$ 個分入るときにも同じく弱め合いが起こります。

これより，$\rmS_1\rmP$ と $\rmS_2\rmP$ の間に波が $m+\mskip 4mu\bun12$（ $m$ は $0$ 以上の整数）個入るときに弱め合いが起こることがわかるので，

$$l_1-l_2=\left(m+\mskip 4mu\bun12\right)\lambda\quad \stext{\hspace{-.5em}（$m$ は $0$ 以上の整数）}$$が一般的な弱め合いの条件式として求まります。

一般的な干渉条件

経路長

以上から，一般的な干渉条件が求まりました。ここまでは $l_1\geqq l_2$ として考えましたが，大小関係が逆の場合もありますので，より一般的には絶対値を付けて $|l_1-l_2|$ として考えます。

この $|l_1-l_2|$ は，2つの波源から観測点までの経路の長さ（経路長）の差を表しており，経路差と呼ばれます。

「経路差の中に，波が整数個分入るときに波は強め合い，半整数個分入るときに波は弱め合う」とまとめることができますね。

考え方

2つの波源が逆位相で振動しているため，強め合いの条件と弱め合いの条件が逆になります。波源から送られる波がそもそも逆位相で正反対なので，条件もひっくり返るわけですね。

弱め合いの条件が，

$$\varDelta L=m\lambda\quad \stext{\hspace{-.5em}（$m$ は $0$ 以上の整数）}$$です。

解答

$\rmA\rmB$ 上の $\rmP$ 点について考える。2つの波源からの経路差である，

$$\varDelta L=|\overline{\rmS_1\rmP}-\overline{\rmS_2\rmP}|$$は，$\rmP$ が $\rmA\rmB$ の中点に位置するときに最小値 $0$ となる。

この中点から $\rmA$（もしくは $\rmB$）に近づいていくと $\varDelta L$ は次第に大きくなり，$\rmA$（もしくは $\rmB$）に一致したところで最大値 $\rootleft(\sqrt2-1\rootright)l$ となる

波源は逆位相で振動しているため，弱め合いの条件は $\varDelta L=m\lambda$（$m$ は $0$ 以上の整数）である。

よって，

$$0\leqq m\lambda\leqq\left(\sqrt2-1\right)l=5\left(\sqrt2-1\right)\lambda$$を満たす $m$ の個数を考える。

これを整理すると，

$$0\leqq m\leqq 5\sqrt2-5\stext{\quad……\ ①}$$が得られる。

ここで，$2<5\sqrt2-5<\Bun52$ であるため，① 式を満たす $m$ は，$m=0,\,1,\,2$ である。

$m=0$ を満たす $\rmP$ は $\rmA\rmB$ の中点であり，$m=1,\,2$ は対応する位置が $\rmA$，$\rmB$ 側にそれぞれ1つずつある。よって，求める弱め合いの点は合計 $5$ つである。

干渉条件の補足

先ほどの例題のように，波源の振動がそもそも逆位相の場合は干渉条件が逆になるので注意しましょう。

なお，例題では $\varDelta L=|\overline{\rmS_1\rmP}-\overline{\rmS_2\rmP}|$ と設定しましたが，符号付きで $\varDelta L=\overline{\rmS_1\rmP}-\overline{\rmS_2\rmP}$ として考える方法もあります。

$\rmS_2\rmP>\rmS_1\rmP$ の場合は，負の経路差として考えるわけですね。この場合，

$$\begin{aligned}&-5\left(\sqrt2-1\right)\lambda\leqq m\lambda\leqq5\left(\sqrt2-1\right)\lambda\\\Leftrightarrow& -5\left(\sqrt2-1\right)\leqq m\leqq5\left(\sqrt2-1\right)\end{aligned}$$と整理できるため，$-2\leqq m\leqq2$ に対応する5つが答えであることがわかります。

なお，符号付きで考えた際，$m$ の値に対応する点は上図の通りです。