定在波の数式表現

1 定在波を表す数式
2 定在波の数式の解釈

定在波を表す数式

定在波を数式で

正弦進行波を数式で表現できるようになった皆さんなら，定在波も数式で表せるはず！

羽白

「こんな複雑な動きをする波，数式で表すの大変そう…。」と思うかもしれませんが，そんなことはないのでご安心ください！

まず，正弦進行波の数式について確認しておきましょう。振幅 $A$，波長 $\lambda$，周期 $T$ で $x$ 軸正の向きに進む正弦進行波は，

$$y(x,\,t)=A\sin\left\{2\pi\left(\bun{t}{T}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu\right)+\varphi\right\}$$

の式で表すことができましたね。ここでは話を簡単にするために，位相の中の定数 $\varphi$ を $0$ として，

$$y_1(x,\,t)=A\sin\left\{2\pi\left(\bun{t}{T}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu\right)\right\}$$

であるものとします。

振幅，波長，周期が全く同じで，$x$ 軸を負の向きに進む正弦進行波は，位相の部分の符号を $-$ から $+$ へ変えることで，

$$y_2(x,\,t)=A\sin\left\{2\pi\left(\bun{t}{T}\mskip 5mu+\mskip 4mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu\right)\right\}$$

と表現できます。

足し算

これらの 2 つの波を重ね合わせると定在波ができるわけですから，波の変位を表す式同士も重ね合わせれば定在波の式が出来上がるはずです！

加法定理を用いて計算してみましょう。

生徒

$$\begin{aligned}y&=y_1+y_2\\&=A\sin\left\{2\pi\left(\bun{t}{T}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu\right)\right\}+A\sin\left\{2\pi\left(\bun{t}{T}\mskip 5mu+\mskip 4mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu\right)\right\}\\&=\left(A\sin2\pi\mskip 6mu\bun{t}{T}\mskip 5mu\cos2\pi\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu-A\cos2\pi\mskip 6mu\bun{t}{T}\mskip 5mu\sin2\pi\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu\right)\\&\quad+\left(A\sin2\pi\mskip 6mu\bun{t}{T}\mskip 5mu\cos2\pi\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu+A\cos2\pi\mskip 6mu\bun{t}{T}\mskip 5mu\sin2\pi\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu\right)\\&=2A\sin2\pi\mskip 6mu\bun{t}{T}\mskip 5mu\cos2\pi\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu\end{aligned}$$

となりますね。

これが定在波を表す式です！バンザイ！…といわれても，ちょっとイメージがつかないですよね。この式が本当に定在波を表しているのか確認していきましょう。

定在波の数式の解釈

式変形

まず，式を以下の通りに変形します。

$$y=2A\cos2\pi\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu\,\times\,\sin2\pi\mskip 6mu\bun{t}{T}\mskip 5mu$$

$A,\,\lambda,\,T$ が定数であることに注意すると，前半の $2A\cos2\pi\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu$ の部分は $x$ のみの関数に，後半の $\sin2\pi\mskip 6mu\bun{t}{T}\mskip 5mu$ の部分は $t$ のみの関数になっていることがわかります。

式変形によって，「(1) $x$ だけが変数となっている部分」と「(2) $t$ だけが変数となっている部分」に分離したわけですね。それぞれの式の意味を確認しながら，定在波の $y-x$ グラフについて考えていきましょう。

(1) $2A\cos2\pi\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu$：$x$ のみの関数

これは，媒質の位置 $x$ によって決まる部分です。形としては，振幅が $2A$，波長が $\lambda$ の正弦波の $y-x$ グラフの式と同じになっていますね。

$+\cos$ 型ですので，概形を図示すると次の通りです。

この式の部分には時刻 $t$ が含まれていませんので，時間変化はしません！

羽白

決まった形の波ができあがるわけですね。

(2) $\sin2\pi\mskip 6mu\bun{t}{T}\mskip 5mu$：$t$ のみの関数

$t$ のみの関数となっていて，時刻変化にともなって $-1$ から $1$ の範囲を動きます。たとえば $t=0$ であれば $0$，$t=\mskip 4mu\bun{T}{2}\mskip 5mu$ であれば $1$，$t=\mskip 4mu\bun32\pi$ であれば $-1$ となりますね。

これらを踏まえて

以上を踏まえて，$y=2A\sin2\pi\mskip 6mu\bun{t}{T}\mskip 5mu\cos2\pi\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu$ がどのような形になるかを考えてみましょう。

(1) × (2) の形をしているので，「(1) で決まった形の波に，(2) で決まる値を掛け算する！」と考えれば ok です。(2) は時刻によって変化する $-1$ から $1$ の値でした。具体的に以下の 5 つの時刻で考えてみましょう。

$$\begin{aligned}&\stext{①$t=0$ のとき：}\,\sin2\pi\mskip 6mu\bun{t}{T}\mskip 5mu=1\\[10pt]&\stext{② $t=\mskip 4mu\bun{T}{8}\mskip 5mu$ のとき：}\,\sin2\pi\mskip 6mu\bun{t}{T}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{1}{\sqrt2}\mskip 5mu\\[10pt]&\stext{③ $t=\mskip 4mu\bun{T}{4}\mskip 5mu$ のとき：}\,\sin2\pi\mskip 6mu\bun{t}{T}\mskip 5mu=0\\[10pt]&\stext{④ $t=\mskip 4mu\bun{3T}{8}\mskip 5mu$ のとき：}\,\sin2\pi\mskip 6mu\bun{t}{T}\mskip 5mu=-\mskip 6mu\bun{1}{\sqrt2}\mskip 5mu\\[10pt]&\stext{⑤ $t=\mskip 4mu\bun{T}{2}\mskip 5mu$ のとき：}\,\sin2\pi\mskip 6mu\bun{t}{T}\mskip 5mu=-1\end{aligned}$$

時刻の変化に応じて (2) の値が変化することで，波に動きが生まれ，定在波が出来上がりましたね！