y(x, t)の求め方

$y-x$ グラフを利用した $y(x,\,t)$ の求め方

波を巻き戻す

羽白

さて，ここまでの話を踏まえていよいよ $y(x,\,t)$ を求めていきましょう！

「波を巻き戻す」という考え方を用いるのですが，正弦波だとややこしくなるため，$x$ 軸正の向きに速さ $v$ で進むパルス波で考えていきます。

まず，求めたいものを確認しましょう。

生徒

「時刻 $t$ における，位置 $x$ の媒質の変位 $y(x,\,t)$ 」ですね。時刻 $t$ における $y-x$ グラフが次図の通りであるとき，図中に明示した位置 $x$ の媒質の変位が求める $y(x,\,t)$ です。

これまでの知識の活用

「時刻も $t$ だし，位置も $x$ だしどうしよう…」となってしまいますね。しかしこれまでに学習した内容から，「時刻 $t=0$ における各媒質の変位を表す式 $y(x,\,0)$ （時刻 $t=0$ における $y-x$ グラフの式）」や「原点（ $x=0$ ）の媒質の，時刻 $t$ における変位を表す式 $y(0,\,t)$ （原点の媒質の $y-t$ グラフの式）」であれば，皆さんは求める方法を知っています。

つまり，「時刻 $t$ もしくは位置 $x$ のいずれかを $0$ にすることができれば，変位を求めることができるのです！

ということで，時間もしくは位置を巻き戻して考えます。まずは時間を巻き戻す方法から確認していきます。

時間を巻き戻して時刻を $t=0$ にするためには，$t$ だけ時間を巻き戻す必要があります。時間を巻き戻すと，波形も逆再生されて戻っていきます。

羽白

波の速さは $v$ ですので，$vt$ だけ位置が巻き戻されますね。

求めたかった位置 $x$ の媒質の変位 $y$ に対応するのは，位置 $x-vt$ の媒質の変位であることが図からわかります。

つまり，「時刻 $t$ の位置 $x$ における媒質の変位 $y(x,\,t)$ は，時刻 $t=0$ の位置 $x-vt$ における媒質の変位 $y(x-vt,\,0)$ に等しい」ということです！

数式だと，$y(x,\,t)=y(x-vt,\,0)$ と表現できますね！

$y(x, 0)$ の利用

正弦波においては $y(x,\,0)=A\sin\left( 2\pi\bun{x}{\lambda}+\varphi \right)$ でした。この $x$ を $x-vt$ に変えたものが $y(x-vt,\,0)$ ですので，

$$y(x-vt,\,0)=A\sin\left( 2\pi\bun{x-vt}{\lambda}+\varphi \right)$$であることがわかります。

ここで，$v=f\lambda$ および $f=\Bun{1}{T}$ を利用することで，

$$y(x,\,t)=y(x-vt,\,0)=A\sin\left\{2\pi\left(\bun{x}{\lambda}-\bun{t}{T}\right)+\varphi\right\}$$と整理することができます。

長かったですが，無事 $y(x,\,t)$ を求めることができました！

負の向きに進む場合

波が $x$ 軸負の向きに進む場合には $v$ を $-v$ に書き換えて考えれば ok です。$y(x,\,t)=y(x+vt,\,0)$ となりますね。符号が変わるだけですので，

$$y(x,\,t)=A\sin\left\{2\pi\left(\bun{x}{\lambda}-\bun{t}{T}\right)+\varphi\right\}$$です。

$y-t$ グラフを利用した $y(x,\,t)$ の求め方

位置を巻き戻す

羽白

同様の手順で，位置を巻き戻す方法も確認しましょう。

注目している媒質の位置 $x$ が原点に戻ってくるまで波形を巻き戻します。

原点から位置 $x$ まで波が進むのにかかる時間は $\bun{x}{v}$ ですので，時間を $\bun{x}{v}$ だけ巻き戻せば ok ですね。時刻 $t$ から $\Bun{x}{v}$ だけ巻き戻すので，時刻は $t-\Bun{x}{v}$ になります。

求める $y(x,\,t)$ は，この時刻における原点の媒質の変位と等しくなります。つまり，「時刻 $t$ の位置 $x$ における媒質の変位 $y(x,\,t)$ は，時刻 $t-\Bun{x}{v}$ の原点における媒質の変位 $y\left( 0,\,t-\bun{x}{v} \right)$ に等しい」ということです！

数式で表現すると，$y(x,\,t)=y\left( 0,\,t-\bun{x}{v} \right)$ ですね！

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