y-tグラフの数式表現

2025年3月3日

羽白いむ

東京大学医学部医学科卒現役医師
東大指導専門塾鉄緑会物理・数学科元講師
物理基礎のトリセツ著者
数学のトリセツ共著者

1 $y-t$ グラフの数式表記
2 一般化

$y-t$ グラフの数式表記

羽白

今回は $y-t$ グラフを数式化してみましょう。

$x=0$ の媒質の $y-t$ グラフが次図のとおりであったとき、この媒質の変位を表す式 $y(0,\,t)$ を求めてみましょう。

そうはいっても、またイチから考える必要はありません。$y-x$ グラフについて学んだ内容がそのまま利用できます。

今回も与えられているグラフも $+\sin$ 型であり、$x\to t$、$\lambda\to T$ という対応関係があることがわかりますね。よって、$y-x$ グラフを表すときに求めた

$$y(x,\,0)=A\sin2\pi\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu$$という数式上においても $x\to t$、$\lambda\to T$ と書き換えればよく、

$$y(0,\,t)=A\sin2\pi\mskip 6mu\bun{t}{T}\mskip 5mu$$としてすぐに結論が得られます。

やはり $t$ が $T$（1周期分）増えるごとに、位相は $2\pi$ 増えることが確認できますね。

数式の解釈

さて、ここで出てきた $\Bun{t}{T}\mskip 5mu$ という値にも重要な意味があります。

$t$ を時間の周期 $T$ で割った値である $\Bun{t}{T}\mskip 5mu$ は、「時間 $t$ のズレが、波何個分の時間のズレに相当するか」を表す値です。そしてこれに位相の周期 $2\pi$ をかけた値である $2\pi\mskip 6mu\bun{t}{T}\mskip 5mu$ は、「時間のずれ $t$ に対応する位相のズレ」と考えることができます。

「時間が $t$ だけずれると、三角関数の中身は $2\pi\mskip 6mu\bun{t}{T}\mskip 5mu$ だけずれるよ！」ということです。

羽白

$2\pi\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu$ の考え方と同様ですね。