正弦進行波の数式表記
3つの変数
物理基礎で，正弦進行波について学習しました。波は常に時間変化していくので，正弦波を考えるにあたっては，「① 媒質の位置 $x$」「② 媒質の変位 $y$」「③ 時刻 $t$」の3つの変数を考える必要があります。
数式表記にあたって
しかし，グラフで波を表現するためには3変数を同時に表現することができなかったため，時刻 $t$ を固定した $y-x$ グラフや，媒質の位置 $x$ を固定した $y-t$ グラフを考えたのでした。
しかし，数式だったらどうでしょう。
「任意の時刻 $t$ における，任意の位置 $x$ の媒質の変位 $y$」を結びつけることはできないでしょうか。変位 $y$ を，時刻 $t$ と媒質の位置 $x$ の関数として表すことができたら便利ですよね。
そういった式があれば，「$x=3\m$ の位置の媒質の，$t=5\s$ における変位 $y\m$ を知りたい！」といった場合に値を代入するだけですぐに $y$ が求められるわけです。
そうした正弦進行波の数式表記について考えていきましょう。
目標
正弦進行波について，任意の時刻 $t$ における，任意の位置 $x$ の媒質の変位 $y$ を表す式 $y(x,\,t)$ を求める。
$y-x$ グラフの数式表記
数式表記のために
まずは $y-x$ グラフについて考えてみましょう。$y-x$ グラフは時刻 $t$ を固定し，その時刻の媒質の様子をそのまま形にしたグラフです。
時刻 $t=0$ における $y-x$ グラフの概形が上図の通りであるとき，このグラフを数式として表現してみましょう。
このとき思い出してほしいのが，力学で扱った単振動です。
込み入った話はしませんので，「単振動アレルギーなんです！」という人も安心してください。
位相について
単振動のグラフを扱った際に4つのグラフについて考えましたよね。今回のグラフは $+\sin$ 型の形をしています。
振幅が $A$ であることを踏まえると，$y=A\sin\stext{◯}$ の形で表記できるはずです。三角関数の中身である◯の部分（位相）がどのようにかけるか考えてみましょう。
位相の1周期は $2\pi$ ですよね。正弦波の波長は $\lambda$ ですので，$x=\lambda$ の位置で位相がちょうど $2\pi$ になる必要があります。
では，位置$x$ における位相の値はどうなるでしょうか？
位置 $x$ は，$x=\lambda$ の場所と比べて，$\Bun{x}{\lambda}\mskip 5mu$ 倍された場所と考えることができます。よって，対応する位相も $\Bun{x}{\lambda}\mskip 5mu$ 倍すればokです。
注目していたグラフは「時刻 $t=0$ における，位置 $x$ の変位 $y$」を表しているので，変位 $y$ は $y(x,\,0)$ と表記できます。よって，
$$y(x,\,0)=A\sin2\pi\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu$$が求める式ですね。
$x$ が $\lambda$ 増えるごとに，位相は $2\pi$ 増えることが確認できるかと思います。
位相に注目した一般化
ここで出てきた $\Bun{x}{\lambda}\mskip 5mu$ という値は，「位置 $x$ が，原点から波何個分離れた位置にあるか」を表す値です。
$x=\lambda$ であれば，$\Bun{\lambda}{\lambda}\mskip 5mu=1$（個分），$x=3\lambda$ であれば，$\Bun{3\lambda}{\lambda}\mskip 5mu=3$（個分）といった具合ですね。
これに位相の周期 $2\pi$ をかけた値である $2\pi\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu$ は，「位置のズレ $x$ に対応する位相のズレ」と考えることができます。「位置が $x$ だけずれると，三角関数の中身は $2\pi\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu$ だけずれるよ！」ということです。
このことを踏まえて，一般化してみましょう。
原点における位相が $\varphi$ である場合，位置 $x$ の位相は $\varphi$ から $2\pi\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu$ だけずれるため，$2\pi\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu+\varphi$ と表現することができます。よって，
$$y(x,\,0)=A\sin\left(2\pi\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu+\varphi\right)$$が一般的な $y-x$グラフを数式化した形になります。
$y-x$ グラフの数式表現
振幅が $A$，波長が $\lambda$ である正弦進行波において，時刻 $t=0$ における位置 $x$ の媒質の変位 $y(x,\,0)$ は，
$$y(x,\,0)=A\sin\left(2\pi\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu+\varphi\right)$$の形で表される。
この数式をグラフとして可視化したものが $y-x$ グラフである。
例題
$x$ 軸正の向きに進む正弦進行波の時刻 $t=0\s$ における波形が右図の通りであるとき，位置 $x\m$ の媒質の変位 $y(x,\,0)\m$ を求めよ。
グラフの波形は $+\cos$ 型であり，グラフより波長が $\lambda=8.0\m$ であることが読み取れる。よって，
$$y(x,\,0)=2.0\sin2\pi\mskip 6mu\bun{x}{8.0}\mskip 5mu\m$$
