不定積分
原始関数と積分定数
関数 $f(x)$ に対して，微分すると $f(x)$ になる関数を $F(x)$ とします。すなわち，関数 $F(x)$ は，$F\prime (x)=f(x)$ を満たします。この関数 $F(x)$ を，$f(x)$ の原始関数といいます。
$f(x)=3x^2$ とするとき，$f(x)$ の原始関数 $F(x)$ を求めてみましょう。
微分して $3x^2$ となる関数は，実はたくさんあります。
$$(x^3)\prime =3x^2,\ (x^3+5)\prime =3x^2,\ (x^3-10)\prime =3x^2$$となることから，$x^3$，$x^3+5$，$x^3-10$ などはすべて $F(x)$ となります。
これらは，定数$C$ を用いることで，$F(x)=x^3+C$ とかけることがわかります。定数 $C$ は微分した際に $0$ になりますので，${F(x)+C}\prime =F\prime (x)=f(x)$ となります。
この定数 $C$ のことを積分定数といいます。
以上をまとめると，
$$\int f(x)\dx=F(x)+C\quad \stext{\hspace{-.5em}（$C$ は積分定数）}$$となります。
このように，不定積分を求めることを積分するといいます。
公式と性質
関数を積分するには，微分法の逆計算をすればよいことになります。
ポイント
自然数 $n$ について， $x^n$ は次の通りに積分できる。
$$\int x^n\dx=\mskip 4mu\bun{1}{n+1}\mskip 5mux^{n+1}+C\ \stext{\hspace{-.5em}（$n$ は $0$ または正の整数）}$$
不定積分は，微分法の逆計算ですから，以下の性質も成り立ちます。
不定積分の性質
$k,\,l$ を定数とする。
$$\begin{aligned}&\stext{①}\ \int kf(x)\dx=k\int f(x)\dx\\&\stext{②}\int {f(x)+g(x)}\dx=\int f(x)\dx+\int g(x)\dx\end{aligned}$$
①，② より，
$$\stext{③}\int {kf(x)+lg(x)}\dx=k\int f(x)\dx+l\int g(x)\dx$$
定積分
定積分の計算
ここからは，厳密な証明を省略して「定積分」という概念について考えていきます。
$f(x)$ の不定積分を $F(x)$ とし，$F(b)-F(a)$ を $\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b$ とします。このとき，
$$\int_a^b f(x)\dx=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b=F(b)-F(a)$$と定義します。これを，$f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分といいます。
たとえば，
$$\begin{aligned}\int_1^3(3x^2-2x)\dx&=\Bigl[x^3-x^2\Bigr]_1^3\\&=(3^3-3^2)-(1^3-1^2)\\&=18\end{aligned}$$となります。
また，$\displaystyle\int_a^bf(x)\dx$ において，$a$ を定積分の下端，$b$ を上端といいます。この定積分を求めることを，$f(x)$ を $a$ から $b$ まで積分するといいます。
定積分の性質
この計算が何を意味しているかはさておき，定積分の性質を押さえ，計算の練習をしていくことにしましょう。
定積分の計算においても，不定積分と同様に以下の性質が成り立ちます。
定積分の性質 その1
$k,\,l$ を定数とする。
$$\begin{aligned}&\stext{①}\ \int_a^b kf(x)\dx=k\int_a^b f(x)\dx\\&\stext{②}\ \int_a^b {f(x)+g(x)}\dx=\int_a^b f(x)\dx+\int_a^b g(x)\dx\end{aligned}$$
①，② より，
$$\stext{③}\ \int_a^b {kf(x)+lg(x)}\dx=k\int_a^b f(x)\dx+l\int_a^b g(x)\dx$$