ベクトルと空間座標

座標空間

3次元への拡張

図のように，定点 $\rmO$ を共通とする3本の数直線を軸とし，軸が互いに直交して作る空間を座標空間といいます。

以後，3本の直線を $x$ 軸，$y$ 軸，$z$ 軸とし，座標軸とします。また，$x$ 軸と $y$ 軸が定める平面を $xy$ 平面，$y$ 軸と $z$ 軸が定める平面を $yz$ 平面，$z$ 軸と $x$ 軸が定める平面を $zx$ 平面，といいます。

点 $\rmP(a,\,b,\,c)$ とするとき，これが座標空間における点 $\rmP$ の座標を表します。

2点間の距離

原点 $\rmO$と点 $\rmP$ の距離 $\rmO\rmP$ は，三平方の定理から，

$$\rmO\rmP=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$と表されます。

図の直方体で考えるとわかりやすい！

生徒

また，2点 $\rmA(x_1,\,y_1,\,z_1)$，$\rmB(x_2,\,y_2,\,z_2)$ の距離 $\rmA\rmB$ は，

$$\rmA\rmB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$と表すことができます。

羽白

$z$成分が増えただけで，座標平面と同じように考えることができるわけですね。

分点と重心

分点

空間内においても，平面のときと同様に内分点や外分点を考えることができます。

点 $\rmA(x_1,\,y_1,\,z_1)$，点 $\rmB(x_2,\,y_2,\,z_2)$ において，線分 $\rmA\rmB$ を $m:n$ に内分する点を $\rmP$，$m:n$ に外分する点を $\rmQ$とすると，

$$\begin{aligned} &\rmP\left(\bun{nx_1+mx_2}{m+n}\mskip 5mu,\,\bun{ny_1+my_2}{m+n}\mskip 5mu,\,\bun{nz_1+mz_2}{m+n}\mskip 5mu\right)\\&\rmQ\left(\bun{-nx_1+mx_2}{m+(-n)}\mskip 5mu,\,\bun{-ny_1+my_2}{m+(-n)}\mskip 5mu,\,\bun{-nz_1+mz_2}{m+(-n)}\mskip 5mu\right) \end{aligned}$$となります。

重心

また，点 $\rmC(x_3,\,y_3,\,z_3)$ とし，$\triangle\rmA\rmB\rmC$ の重心を $\rmG$ とすると，

$$\rmG\left(\bun{x_1+x_2+x_3}{3}\mskip 5mu,\,\bun{y_1+y_2+y_3}{3}\mskip 5mu,\,\bun{z_1+z_2+z_3}{3}\mskip 5mu\right)$$となります。

羽白

いずれも平面のときと同じように考えることができますね。