一般角と弧度法

羽白

このセクションから数学Ⅱの内容になります！

一般角

言葉の定義

私たちが普段，角の大きさを扱うときには，$0\Deg$ から $360\Deg$ の範囲で考えます。

羽白

まずは，この角の大きさに対する考え方を拡張していきましょう。

上の図のように，固定された半直線 $\rmO\rmX$ と動く半直線 $\rmO\rmP$ を考えてみます。この $\rmO\rmX$ を始線，$\rmO\rmP$ を動径といいます。

$\rmO\rmP$ を $\rmO\rmX$ に対して反時計周り（正の向き）に回したときの $\angle\rmX\rmO\rmP$ を正の角，$\rmO\rmP$ を $\rmO\rmX$ に対して時計周り（負の向き）に回したときの $\angle\rmX\rmO\rmP$ を負の角といいます。

一般角

次に，$390\Deg$ という角の大きさを考えてみましょう。

これは上の図のように，動径 $\rmO\rmP$ を正の向きに $360\Deg$ 回転したあと，さらに $30\Deg$ 回転させることになります。つまり，$390\Deg$ と $30\Deg$ は同じ角の大きさを表していることがわかりますね。

このことは，$750\Deg(=30\Deg+360\Deg\times2)$，$1110\Deg(=30\Deg+360\times3)$，$-330\Deg(=30\Deg+360\Deg\times(-1))$ なども同じです。一般に，始線と動径のなす角は，

$$\alpha+360\Deg\times n\ \stext{\hspace{-.5em}（$$$$n$$ は整数）}と表すことができ，$n$ の値を変えても動径 $\rmO\rmP$ の位置は同じです。

このように，$n$ などの文字を用いて表した角を一般角といいます。

弧度法

弧度法での角度表現

これまで私たちは，角の大きさを表すとき度数法（$30\Deg$，$90\Deg$，$360\Deg$ など）を用いて表してきました。

この表し方は，角の大きさを表すときにはとても便利なツールなのですが，扇形の面積や弧の長さを求める際，式が少し煩雑になります。

半径が $r$，中心角が $\theta$ の弧の長さ $l$ と扇形の面積 $S$ はそれぞれ，

$$\begin{aligned}l&=2\pi r\cdot\mskip 6mu\bun{\theta}{360}\mskip 5mu\\ S&=\pi r^2\cdot\mskip 6mu\bun{\theta}{360}\mskip 5mu\end{aligned}$$という形になります。

弧の長さや面積を考える際，表現の仕方をシンプルにできないのでしょうか。

生徒

扇形の弧の長さ $l$ は，$l=2\pi r\cdot\mskip 6mu\bun{\theta}{360}\mskip 5mu$ の式からわかる通り，中心角 $\theta$ に比例します。ということは，弧の長さを用いて，角の大きさを表すこともできるはずです。

そこで，図の $\angle\rmX\rmO\rmP$ の大きさを，単位円上の弧 $\rmA\rmB$ の長さを用いて表すことにしてみます。

このようにして，単位円の弧の長さを用いて角の大きさを表す方法を弧度法といい，単位をラジアン（$\mathrm{rad}$)とします。

具体的にあらわしてみましょう！

生徒

半径 $1$ の円の場合，円周の長さは $2\pi$ となります。つまり，$360\Deg=2\pi \rad$ です。したがって，

$$\pi\rad=180\Deg$$となります。

逆に，度数法から弧度法に変換するときも，$180\Deg=\pi\rad$ をもとにすれば，

$$90\Deg=\mskip 4mu\bun{\pi}{2}\mskip 5mu\rad,\ 45\Deg=\mskip 4mu\bun{\pi}{4}\mskip 5mu\rad,\ 30\Deg=\mskip 4mu\bun{\pi}{6}\mskip 5mu\rad$$などと求めることができます。

単位の $\rad$ は，省略してかかれることが多く，単に

$$\pi\,(=180\Deg),\ \bun{\pi}{3}\mskip 5mu\,(=60\Deg),\ -\bun{\pi}{2}\mskip 5mu\,(=-90\Deg)$$などとかかれます。

公式のまとめ

弧度法を用いた場合，半径が $r$，中心角が $\theta$ の扇形の弧の長さ $l$，面積 $S$ について，公式をまとめていきましょう。

半径が $1$ で，中心角が $\theta$ の扇形の弧の長さは $\theta$（これが弧度法の定義！）です。

半径が $r$ で，中心角が $\theta$ の扇形との相似比は，$1:r$ なので，

$$\theta:l=1:r$$となります。よって，

$$l=r\theta\stext{\quad…\ ①}$$であることがわかります。

また，半径が $r$ の円の面積は $\pi r^2$ で表せますから，中心角が $\theta$ の扇形の面積 $S$ は，

$$S=\pi r^2\times\mskip 6mu\bun{\theta}{2\pi}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun12r^2\theta\stext{\quad…\ ②}$$と表せます。

さらに，①，②より，

$$S=\mskip 4mu\bun12r^2\theta=\mskip 4mu\bun12r(r\theta)=\mskip 4mu\bun12rl$$のように，弧の長さと半径のみで表すこともできます。

羽白

$l=r\theta$ の式は物理でも使用しますのでしっかりと覚えてください！