$\gdef\bun#1#2{\dfrac{#1}{#2}}$ $\gdef\Bun#1#2{\bun{#1}{#2}}$ $\gdef\punit#1{\ [\mathrm{#1}]\,}$ $\gdef{\d}{\mathop{d}{}}$ $\gdef\dx{dx}$ $\gdef\dy{dy}$ $\gdef\dt{dt}$ $\gdef\dv{dv}$ $\gdef\dr{dr}$ $\gdef\dV{dV}$ $\gdef\dP{dP}$ $\gdef\dT{dT}$ $\gdef\dU{dU}$ $\gdef\dI{dI}$ $\gdef\boldrm#1{\mathrm{#1}}$ $\gdef\rmA{\boldrm{A}}$ $\gdef\rmB{\boldrm{B}}$ $\gdef\rmC{\boldrm{C}}$ $\gdef\rmD{\boldrm{D}}$ $\gdef\rmE{\boldrm{E}}$ $\gdef\rmF{\boldrm{F}}$ $\gdef\rmG{\boldrm{G}}$ $\gdef\rmH{\boldrm{H}}$ $\gdef\rmI{\boldrm{I}}$ $\gdef\rmJ{\boldrm{J}}$ $\gdef\rmK{\boldrm{K}}$ $\gdef\rmL{\boldrm{L}}$ $\gdef\rmM{\boldrm{M}}$ $\gdef\rmN{\boldrm{N}}$ $\gdef\rmO{\boldrm{O}}$ $\gdef\rmP{\boldrm{P}}$ $\gdef\rmQ{\boldrm{Q}}$ $\gdef\rmR{\boldrm{R}}$ $\gdef\rmS{\boldrm{S}}$ $\gdef\rmT{\boldrm{T}}$ $\gdef\rmU{\boldrm{U}}$ $\gdef\rmV{\boldrm{V}}$ $\gdef\rmW{\boldrm{W}}$ $\gdef\rmX{\boldrm{X}}$ $\gdef\rmY{\boldrm{Y}}$ $\gdef\rmZ{\boldrm{Z}}$ $\gdef\Deg{^{\circ}}\!$ $\gdef\DegC{\,{}^{\scriptsize\circ\!}\rmC}$ $\gdef\punitDegC{\punit{{}^{\scriptsize\circ\!}\rmC}}$ $\gdef\neareq{\fallingdotseq}$ $\gdef\mss{\punit{m/s^2\,}}$ $\gdef\ms{\punit{m/s}}$ $\gdef\s{\punit{s}}$ $\gdef\m{\punit{m}}$ $\gdef\mm{\punit{m^2}}$ $\gdef\mmm{\punit{m^3}}$ $\gdef\rad{\punit{rad}}$ $\gdef\N{\punit{N}}$ $\gdef\J{\punit{J}}$ $\gdef\cal{\punit{cal}}$ $\gdef\W{\punit{W}}$ $\gdef\g{\punit{g}}$ $\gdef\kg{\punit{kg}}$ $\gdef\K{\punit{K}}$ $\gdef\Hz{\punit{Hz}}$ $\gdef\C{\punit{C}}$ $\gdef\A{\punit{A}}$ $\gdef\V{\punit{V}}$ $\gdef\mol{\punit{mol}}$ $\gdef\NA{N_{\rmA}}$ $\gdef\CV{C_{\rmV}}$ $\gdef\CP{C_{\rmP}}$ $\gdef\Pa{\punit{Pa}}$ $\gdef\SUB#1{_{\mathrm{#1}}}$ $\gdef\vec#1{\overrightarrow{#1}}$ $\gdef\dvec#1{\overrightarrow{#1}}$ $\gdef\stext#1{\text{\small #1}}$ $\gdef\sinh{\sin\theta}$ $\gdef\sinx{\sin x}$ $\gdef\siny{\sin y}$ $\gdef\cosh{\cos\theta}$ $\gdef\cosx{\cos x}$ $\gdef\cosy{\cos y}$ $\gdef\tanh{\tan\theta}$ $\gdef\tanx{\tan x}$ $\gdef\tany{\tan y}$ $\gdef\in{^{\,\mathrm{in}}}$ $\gdef\out{^{\,\mathrm{out}}}$ $\gdef\net{^{\,\mathrm{net}}}$ $\gdef\max{_{\mathrm{max}}}$ $\gdef\min{_{\mathrm{min}}}$

三角関数 数学

一般角と弧度法

羽白 いむ

東京大学医学部医学科卒 現役医師
数学のトリセツ共著者
東大指導専門塾鉄緑会 物理・数学科元講師

羽白

このセクションから数学Ⅱの内容になります！

一般角

言葉の定義

私たちが普段，角の大きさを扱うときには，$0\Deg$ から $360\Deg$ の範囲で考えます。

羽白

まずは，この角の大きさに対する考え方を拡張していきましょう。

上の図のように，固定された半直線 $\rmO\rmX$ と動く半直線 $\rmO\rmP$ を考えてみます。この $\rmO\rmX$ を始線，$\rmO\rmP$ を動径といいます。

$\rmO\rmP$ を $\rmO\rmX$ に対して反時計周り（正の向き）に回したときの $\angle\rmX\rmO\rmP$ を正の角，$\rmO\rmP$ を $\rmO\rmX$ に対して時計周り（負の向き）に回したときの $\angle\rmX\rmO\rmP$ を負の角といいます。

一般角

次に，$390\Deg$ という角の大きさを考えてみましょう。

これは上の図のように，動径 $\rmO\rmP$ を正の向きに $360\Deg$ 回転したあと，さらに $30\Deg$ 回転させることになります。つまり，$390\Deg$ と $30\Deg$ は同じ角の大きさを表していることがわかりますね。

このことは，$750\Deg(=30\Deg+360\Deg\times2)$，$1110\Deg(=30\Deg+360\times3)$，$-330\Deg(=30\Deg+360\Deg\times(-1))$ なども同じです。一般に，始線と動径のなす角は，

$$\alpha+360\Deg\times n\ \stext{（$n$ は整数）}$$と表すことができ，$n$ の値を変えても動径 $\rmO\rmP$ の位置は同じです。

このように，$n$ などの文字を用いて表した角を一般角といいます。

弧度法

弧度法での角度表現

これまで私たちは，角の大きさを表すとき度数法（$30\Deg$，$90\Deg$，$360\Deg$ など）を用いて表してきました。

この表し方は，角の大きさを表すときにはとても便利なツールなのですが，扇形の面積や弧の長さを求める際，式が少し煩雑になります。

半径が $r$，中心角が $\theta$ の弧の長さ $l$ と扇形の面積 $S$ はそれぞれ，

$$\begin{aligned}l&=2\pi r\cdot\Bun{\theta}{360}\\ S&=\pi r^2\cdot\Bun{\theta}{360}\end{aligned}$$という形になります。

弧の長さや面積を考える際，表現の仕方をシンプルにできないのでしょうか。

生徒

扇形の弧の長さ $l$ は，$l=2\pi r\cdot\Bun{\theta}{360}$ の式からわかる通り，中心角 $\theta$ に比例します。ということは，弧の長さを用いて，角の大きさを表すこともできるはずです。

そこで，図の $\angle\rmX\rmO\rmP$ の大きさを，単位円上の弧 $\rmA\rmB$ の長さを用いて表すことにしてみます。

このようにして，単位円の弧の長さを用いて角の大きさを表す方法を弧度法といい，単位をラジアン（$\mathrm{rad}$)とします。

具体的にあらわしてみましょう！

生徒

半径 $1$ の円の場合，円周の長さは $2\pi$ となります。つまり，$360\Deg=2\pi \rad$ です。したがって，

$$\pi\rad=180\Deg$$となります。

逆に，度数法から弧度法に変換するときも，$180\Deg=\pi\rad$ をもとにすれば，

$$90\Deg=\bun{\pi}{2}\rad,\ 45\Deg=\bun{\pi}{4}\rad,\ 30\Deg=\bun{\pi}{6}\rad$$などと求めることができます。

単位の $\rad$ は，省略してかかれることが多く，単に

$$\pi\,(=180\Deg),\ \bun{\pi}{3}\,(=60\Deg),\ -\bun{\pi}{2}\,(=-90\Deg)$$などとかかれます。

公式のまとめ

弧度法を用いた場合，半径が $r$，中心角が $\theta$ の扇形の弧の長さ $l$，面積 $S$ について，公式をまとめていきましょう。

半径が $1$ で，中心角が $\theta$ の扇形の弧の長さは $\theta$（これが弧度法の定義！）です。

半径が $r$ で，中心角が $\theta$ の扇形との相似比は，$1:r$ なので，

$$\theta:l=1:r$$となります。よって，

$$l=r\theta\stext{\quad…\ ①}$$であることがわかります。

また，半径が $r$ の円の面積は $\pi r^2$ で表せますから，中心角が $\theta$ の扇形の面積 $S$ は，

$$S=\pi r^2\times\Bun{\theta}{2\pi}=\bun12r^2\theta\stext{\quad…\ ②}$$と表せます。

さらに，①，②より，

$$S=\bun12r^2\theta=\bun12r(r\theta)=\bun12rl$$のように，弧の長さと半径のみで表すこともできます。

弧度法に関する公式

弧度法を用いた場合，半径が $r$，中心角が $\theta$ の扇形の弧の長さ $l$，面積 $S$ は，

$$\begin{aligned} l&=r\theta\\ S&=\bun12r^2\theta=\bun12rl \end{aligned}$$

羽白

$l=r\theta$ の式は物理でも使用しますのでしっかりと覚えてください！

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