三角関数 数学

一般角と弧度法

羽白 いむ

東京大学医学部医学科卒 現役医師
東大指導専門塾鉄緑会 物理・数学科元講師
物理基礎のトリセツ著者
数学のトリセツ共著者

羽白

このセクションから数学Ⅱの内容になります!

一般角

言葉の定義

私たちが普段,角の大きさを扱うときには,0°0\Deg から 360°360\Deg の範囲で考えます。

羽白

まずは,この角の大きさに対する考え方を拡張していきましょう。

上の図のように,固定された半直線 OX\rmO\rmX と動く半直線 OP\rmO\rmP を考えてみます。この OX\rmO\rmX始線OP\rmO\rmP動径といいます。

OP\rmO\rmPOX\rmO\rmX に対して反時計周り(正の向き)に回したときの XOP\angle\rmX\rmO\rmP正の角OP\rmO\rmPOX\rmO\rmX に対して時計周り(負の向き)に回したときの XOP\angle\rmX\rmO\rmP負の角といいます。

一般角

次に,390°390\Deg という角の大きさを考えてみましょう。

これは上の図のように,動径 OP\rmO\rmP を正の向きに 360°360\Deg 回転したあと,さらに 30°30\Deg 回転させることになります。つまり,390°390\Deg30°30\Deg は同じ角の大きさを表していることがわかりますね。

このことは,750°(=30°+360°×2)750\Deg(=30\Deg+360\Deg\times2)1110°(=30°+360×3)1110\Deg(=30\Deg+360\times3)330°(=30°+360°×(1))-330\Deg(=30\Deg+360\Deg\times(-1)) なども同じです。一般に,始線と動径のなす角は,

α+360°×n n は整数)\alpha+360\Deg\times n\ \stext{\hspace{-.5em}(nn は整数)}と表すことができ,nn の値を変えても動径 OP\rmO\rmP の位置は同じです。

このように,nn などの文字を用いて表した角を一般角といいます。

弧度法

弧度法での角度表現

これまで私たちは,角の大きさを表すとき度数法(30°30\Deg90°90\Deg360°360\Deg など)を用いて表してきました。

この表し方は,角の大きさを表すときにはとても便利なツールなのですが,扇形の面積や弧の長さを求める際,式が少し煩雑になります。

半径が rr,中心角が θ\theta の弧の長さ ll と扇形の面積 SS はそれぞれ,

l=2πrθ360  S=πr2θ360  \begin{aligned}l&=2\pi r\cdot\mskip 6mu\bun{\theta}{360}\mskip 5mu\\ S&=\pi r^2\cdot\mskip 6mu\bun{\theta}{360}\mskip 5mu\end{aligned}という形になります。

弧の長さや面積を考える際,表現の仕方をシンプルにできないのでしょうか。

生徒

扇形の弧の長さ ll は,l=2πrθ360  l=2\pi r\cdot\mskip 6mu\bun{\theta}{360}\mskip 5mu の式からわかる通り,中心角 θ\theta に比例します。ということは,弧の長さを用いて,角の大きさを表すこともできるはずです。

そこで,図の XOP\angle\rmX\rmO\rmP の大きさを,単位円上の弧 AB\rmA\rmB の長さを用いて表すことにしてみます。

このようにして,単位円の弧の長さを用いて角の大きさを表す方法を弧度法といい,単位をラジアン(rad\mathrm{rad})とします。

具体的にあらわしてみましょう!

生徒

半径 11 の円の場合,円周の長さは 2π2\pi となります。つまり,360°=2π [rad]360\Deg=2\pi \rad です。したがって,

π [rad]=180°\pi\rad=180\Degとなります。

逆に,度数法から弧度法に変換するときも,180°=π [rad]180\Deg=\pi\rad をもとにすれば,

90°=π2   [rad], 45°=π4   [rad], 30°=π6   [rad]90\Deg=\mskip 4mu\bun{\pi}{2}\mskip 5mu\rad,\ 45\Deg=\mskip 4mu\bun{\pi}{4}\mskip 5mu\rad,\ 30\Deg=\mskip 4mu\bun{\pi}{6}\mskip 5mu\radなどと求めることができます。

単位の  [rad]\rad は,省略してかかれることが多く,単に

π(=180°), π3   (=60°), π2   (=90°)\pi\,(=180\Deg),\ \bun{\pi}{3}\mskip 5mu\,(=60\Deg),\ -\bun{\pi}{2}\mskip 5mu\,(=-90\Deg)などとかかれます。

公式のまとめ

弧度法を用いた場合,半径が rr,中心角が θ\theta の扇形の弧の長さ ll,面積 SS について,公式をまとめていきましょう。

半径が 11 で,中心角が θ\theta の扇形の弧の長さは θ\theta(これが弧度法の定義!)です。

半径が rr で,中心角が θ\theta の扇形との相似比は,1:r1:r なので,

θ:l=1:r\theta:l=1:rとなります。よって,

l=rθ ①l=r\theta\stext{\quad…\ ①}であることがわかります。

また,半径が rr の円の面積は πr2\pi r^2 で表せますから,中心角が θ\theta の扇形の面積 SS は,

S=πr2×θ2π  =12r2θ ②S=\pi r^2\times\mskip 6mu\bun{\theta}{2\pi}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun12r^2\theta\stext{\quad…\ ②}と表せます。

さらに,①,②より,

S=12r2θ=12r(rθ)=12rlS=\mskip 4mu\bun12r^2\theta=\mskip 4mu\bun12r(r\theta)=\mskip 4mu\bun12rlのように,弧の長さと半径のみで表すこともできます。

弧度法に関する公式

弧度法を用いた場合,半径が rr,中心角が θ\theta の扇形の弧の長さ ll,面積 SS は,

l=rθS=12r2θ=12rl\begin{aligned} l&=r\theta\\ S&=\mskip 4mu\bun12r^2\theta=\mskip 4mu\bun12rl \end{aligned}

羽白

l=rθl=r\theta の式は物理でも使用しますのでしっかりと覚えてください!

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