
羽白
一般角
言葉の定義
私たちが普段,角の大きさを扱うときには,0° から 360° の範囲で考えます。

羽白
まずは,この角の大きさに対する考え方を拡張していきましょう。
上の図のように,固定された半直線 OX と動く半直線 OP を考えてみます。この OX を始線,OP を動径といいます。
OP を OX に対して反時計周り(正の向き)に回したときの ∠XOP を正の角,OP を OX に対して時計周り(負の向き)に回したときの ∠XOP を負の角といいます。
一般角
次に,390° という角の大きさを考えてみましょう。
これは上の図のように,動径 OP を正の向きに 360° 回転したあと,さらに 30° 回転させることになります。つまり,390° と 30° は同じ角の大きさを表していることがわかりますね。
このことは,750°(=30°+360°×2),1110°(=30°+360×3),−330°(=30°+360°×(−1)) なども同じです。一般に,始線と動径のなす角は,
n は整数)}α+360°×n (n は整数)と表すことができ,n の値を変えても動径 OP の位置は同じです。
このように,n などの文字を用いて表した角を一般角といいます。
弧度法
弧度法での角度表現
これまで私たちは,角の大きさを表すとき度数法(30°,90°,360° など)を用いて表してきました。
この表し方は,角の大きさを表すときにはとても便利なツールなのですが,扇形の面積や弧の長さを求める際,式が少し煩雑になります。
半径が r,中心角が θ の弧の長さ l と扇形の面積 S はそれぞれ,
lS=2πr⋅360θ=πr2⋅360θという形になります。
弧の長さや面積を考える際,表現の仕方をシンプルにできないのでしょうか。

生徒
扇形の弧の長さ l は,l=2πr⋅360θ の式からわかる通り,中心角 θ に比例します。ということは,弧の長さを用いて,角の大きさを表すこともできるはずです。
そこで,図の ∠XOP の大きさを,単位円上の弧 AB の長さを用いて表すことにしてみます。
このようにして,単位円の弧の長さを用いて角の大きさを表す方法を弧度法といい,単位をラジアン(rad)とします。

生徒
半径 1 の円の場合,円周の長さは 2π となります。つまり,360°=2π [rad] です。したがって,
π [rad]=180°となります。
逆に,度数法から弧度法に変換するときも,180°=π [rad] をもとにすれば,
90°=2π [rad], 45°=4π [rad], 30°=6π [rad]などと求めることができます。
単位の [rad] は,省略してかかれることが多く,単に
π(=180°), 3π(=60°), −2π(=−90°)などとかかれます。
公式のまとめ
弧度法を用いた場合,半径が r,中心角が θ の扇形の弧の長さ l,面積 S について,公式をまとめていきましょう。
半径が 1 で,中心角が θ の扇形の弧の長さは θ(これが弧度法の定義!)です。
半径が r で,中心角が θ の扇形との相似比は,1:r なので,
θ:l=1:rとなります。よって,
l=rθ… ①であることがわかります。
また,半径が r の円の面積は πr2 で表せますから,中心角が θ の扇形の面積 S は,
S=πr2×2πθ=21r2θ… ②と表せます。
さらに,①,②より,
S=21r2θ=21r(rθ)=21rlのように,弧の長さと半径のみで表すこともできます。
弧度法に関する公式
弧度法を用いた場合,半径が r,中心角が θ の扇形の弧の長さ l,面積 S は,
lS=rθ=21r2θ=21rl

羽白
l=rθ の式は物理でも使用しますのでしっかりと覚えてください!