単振動のエネルギー保存則
通常のエネルギー保存則
物体が単振動を行う場合にも，エネルギー保存則を考えることができます。前回扱った「ばねにぶら下がった物体の単振動」で考えてみましょう。
原点を位置エネルギーの基準点とします。
手を離した位置
まず，手を離した位置における力学的エネルギーを考えてみましょう。ばねの伸びは $x_1+\Bun{mg}{k}$ ですので，弾性力の位置エネルギーは，
$$U_k=\Bun12k\left(x_1+\bun{mg}{k}\right)^2$$となります。
一方，原点よりも鉛直方向に $x_1+\Bun{mg}{k}$ だけ低い位置に物体は存在するので，重力の位置エネルギーは，
$$U_g=-mg\left(x_1+\bun{mg}{k}\right)$$となりますね。
物体の速さは $0$ であり，運動エネルギーは $K=0$ となりますので，力学的エネルギーは，
$$\begin{aligned}E_0&=U_k+U_g+K\\ &=\Bun12k\left(x_1+\bun{mg}{k}\right)^2-mg\left(x_1+\bun{mg}{k}\right)\end{aligned}$$として得られます。
では，位置 $x$ ではどうでしょう？
ばねがのびた位置
ばねが $x$ だけ伸びていることになりますので，弾性力の位置エネルギーは $U_k=\Bun12kx^2$ ですね。
一方，鉛直方向には $x$ だけ低い位置に存在することになりますから，重力の位置エネルギーは $U_g=-mgx$ となります。速さを $v$ とすると，運動エネルギーは $K=\Bun12mv^2$ になりますので，力学的エネルギーは，
$$E=\bun12kx^2-mgx+\Bun12mv^2$$として得られます。
エネルギー保存
単振動を行っている間，物体に仕事をするのは弾性力と重力のみで，これらはいずれも保存力ですから，力学的エネルギー保存則が成立します。
よって，
$$\Bun12k\left(x_1+\bun{mg}{k}\right)^2-mg\left(x_1+\bun{mg}{k}\right)=\bun12kx^2-mgx+\Bun12mv^2$$が得られます。
復元力の位置エネルギー
よりよい方法
弾性力の位置エネルギー，重力の位置エネルギー，運動エネルギーから考える力学的エネルギー保存則について確認しました。
しかし，出てきた式の形は複雑で，とても気持ちよく解けそうにない…。
もっと楽な方法はないのでしょうか？
物体が単振動を行うとき，物体に作用する力は必ず $f=-k(x-x_0)$ の形にまとめることができるのでした。
ばねにぶら下がった重りの例では，$f=-k\left(x-\bun{mg}{k}\right)$ という形の復元力となっており，弾性力と重力の合力となっていることがわかりますね。
そこで，位置エネルギーも弾性力と重力を別々に考えるのではなく，まとめて1つの復元力のエネルギーとして考えることはできないでしょうか。
復元力 $f=-k(x-x_0)$ の形は，弾性力 $f=-kx$ の形に似ていますよね。弾性力の $x$ を $x-x_0$ に変えただけです。
よって，仕事やエネルギーの計算を行う際にも同じように $x$ を $x-x_0$ に変えることで，結論をそのまま利用することができるのです。
復元力の位置エネルギー
弾性力の位置エネルギーは，$x=0$ を基準点として，$U=\Bun12kx^2$ でしたね。
よって，弾性力の位置エネルギーは，$x-x_0=0$ すなわち $x=x_0$（振動中心，つり合いの点）を基準として，$U=\Bun12k(x-x_0)^2$ とかくことができてしまうのです。
この「$x-x_0$」は，振動中心からのズレを表していますね。つまり日本語で表現すると，
$$U=\bun12\times\stext{（復元力の比例定数：$k$）}\times\stext{（振動中心からのズレ：$x-x_0$）}^2$$です。
復元力の位置エネルギー
復元力 $f=-k(x-x_0)$ の位置エネルギーは，振動中心 $x=x_0$ を基準点として，
$$U=\bun12k(x-x_0)^2$$とかける。
この復元力の位置エネルギーには，弾性力の位置エネルギーや重力の位置エネルギーなど，全ての位置エネルギーが含まれています。
よって，この復元力の位置エネルギーと運動エネルギーのみで力学的エネルギー保存則を考えることができるのです。
逆に，復元力の位置エネルギーを考える際はそこに全ての位置エネルギーが含まれているため，弾性力や重力の位置エネルギーを式に登場させてはいけません。
復元力の位置エネルギーだけを考えればそれでokです。
よって，必ず，
$$\Bun12k(x-x_0)^2+\bun12mv^2=\stext{（一定）}$$の形で力学的エネルギー保存則を立式することができます。
単振動の力学的エネルギー保存則
復元力の位置エネルギーを用いて，
$$\Bun12k(x-x_0)^2+\bun12mv^2=\stext{（一定）}$$の形で立式する。
かなり式がシンプルになりましたね！
復元力の位置エネルギーに全ての位置エネルギーがまとまってるってなんだか凄くないですか！
この形の力学的エネルギー保存則を使うことで計算が非常に楽になることが多いので，ぜひ使い慣れてください！