単振動の解析手順

単振動と力

ここまでの話で，単振動がどんな運動かがわかりました。

物体にどんな力が働くと，その物体が単振動をするのかがわからないとどうしようもありません。

少し数学的に難しい話になってしまうので，先に答えからお伝えします。

いきなり結論をいわれてもぱっと理解できないと思いますので，順に見ていきましょう。

復元力

まず，$f=-k(x-x_0)$ という力についてです。

$k$ はある定数だと考えてください。$x-x_0$ は，位置 $x_0$ からの変位を表しています。

これを定数倍して，マイナスを付けたものが $f$ になっています。マイナスが付いていることから，力の向きは $x_0$ からの変位の反対向きということがわかりますね。

これはつまり，$x_0$ に戻す向きです。物体が $x_0$ から右にズレたら左向きに力が働き，左にズレたら右向きに力が働きます。

よって，「$f$ は，$x_0$ からの変位（ズレ）に比例した大きさで，$x_0$ に向かう向きの力」とまとめることができます。

このような力を復元力といい，$k$ を復元力の比例定数と呼びます。

$x=x_0$ のとき $f=0$ になりますので，$x_0$ は力がつり合う点です。

$x_0$ は単振動の振動中心を表していましたので，単振動の振動中心は，力のつり合いが成り立つ点であることがわかります。

単振動の運動方程式

運動方程式

物体に作用する力が $f=-k(x-x_0)$ のとき，運動方程式は，

$$ma=-k(x-x_0)$$とかくことができます。

加速度は $x$ の2階微分でしたので，これを書き換えると，

$$m\Bun{\d^2x}{\dt^2}=-k(x-x_0)$$という形になります。

これは $x$ についての方程式となっていて，微分を含む形なので「微分方程式」と呼ばれます。

解くのは数学的に難しいので，「この微分方程式を解くと（$x$ を求めると），$x=x_0+A\sin(\omega t+\varphi)$ が得られる」というところは「そういうものだ」と思って納得してください。

解析手順

解析手順について

運動方程式を変形すると，$a=-\Bun{k}{m}(x-x_0)$ という形が出てきますが，加速度は必ず $a=-\omega^2(x-x_0)$ の形でかけるのでした。この2式を比較することで，

$$\omega^2=\bun{k}{m}\qquad \therefore\quad \omega=\sqrt{\bun{k}{m}}$$のように $\omega$ を求めることができます。

つまり単振動の問題を解く際には，運動方程式を立てて，$a=-\text{□}(x-\text{◯})$ の形に変形してしまえばよいのです。

これと $a=-\omega^2(x-x_0)$ の形を比較することで，$$\left\{\begin{array}{l}\omega^2=\text{□} \qquad\therefore \quad \omega=\sqrt{\text{□}}\\ x_0=\text{◯}\end{array}\right.$$として角振動数 $\omega$ と振動中心 $x_0$ を求めることができます。

あとは運動の様子を考えながら $x$ の式を求めていく，という手順になります！

難しい問題でも基本的にはこの手順でパターン化できてしまいます！

特に③の「$a=-\text{□}(x-\text{◯})$ の形に変形する」という部分は，意識しないと正しく式変形できません。

「式変形して $a=-\text{□}(x-\text{◯})$ の形を作る！」という目的意識を強く持って解き進めることが大切です。

①〜④ のステップについて，順番に確認していきましょう。

ステップ①：$x$ 軸の設定

今回は問題文で $x$ 軸が設定されています。ばねが自然長となる位置（つり合いの位置）が原点になっていますね。

ステップ②：運動方程式

位置 $x$ における物体の力について考えましょう。物体の位置が $x$ のとき，ばねの伸びも $x$ となりますので，作用する力は $f=-kx$ です。

よって，運動方程式は，$$ma=-kx$$となります。

ステップ③：式変形

運動方程式の両辺を $m$ で割ることで，$$a=-\bun{k}{m}x$$となります。

これが最も重要な部分ですね。これより，$\omega^2=\Bun{k}{m}$ であることがわかりますので，$\omega=\sqrt{\bun{k}{m}}$ が得られます。

「$x_0-\text{◯}$」の◯の部分は $0$ ですので，振動中心 $x_0$ は原点になります。そもそもつり合いの位置を原点に取っていたので当然ですね。

ここからは (1) と (2) で初期条件が異なっていますので，別々に考えていきます。

ステップ④：初期条件の考察 (1)

初期条件は，$t=0$ で $x=x_1$ です。この点でそっと手を離していますので，$x=x_1$ が片方の端点になります。

振動中心である原点と，この端点との距離が振幅 $A$ ですので，$A=x_1-0=x_1$ であることがわかります。

もう片方の端点は，振動中心から反対に振幅 $A$ の分だけ進んだ場所になりますので，$0-x_1=-x_1$ ですね。

以上と，時刻 $t=0$ に位置 $x_1$ から単振動が始まったことを合わせると，グラフの概形がわかります。

このグラフは $+\cos$ 型ですので，$$x=x_1\cos\sqrt{\bun{k}{m}}t$$であることがわかります。

なお，問題では問われていませんが，振動中心での速さは，$$v\max=A\omega=x_1\sqrt{\bun{k}{m}}$$です。

ステップ④：初期条件の考察 (2)

原点で初速度を与えられています。この初速度は，「振動中心での物体の速さ $v\max=A\omega$」に等しくなりますので，

$$A\omega=v_1\qquad\therefore \quad A=v_1\sqrt{\bun{m}{k}}$$として振幅 $A$ が得られます。

振動中心が原点であることはわかっていますので，端点は $x=\pm A$ ですね。

$t=0$ において，正の速度で $x$ 軸正の向きに運動を始めることを踏まえると，グラフの概形がの通りであることがわかります。

このグラフは $+\sin$型ですので，

$$x=v_1\sqrt{\bun{m}{k}}\sin\sqrt{\bun{k}{m}}t$$として $x$ が得られますね。

初期条件の考え方

上の例題で見たように，初期条件によらず ③ までは同じ手順です。

しつこいようですが，$a=-\text{□}(x-\text{◯})$ の形を作り出すのが最大のポイントです。

④ については，上の例題で見た2つのパターンがあります。いずれもグラフの概形をかいて，4つのどの型かを考えて $x$ の式を求めるという流れは共通です。

振動中心から離れた点でそっと手を離す場合

手を離した点が端点となります。振動中心との差から振幅 $A$ を求めます。振動中心での速さ $v\max$ は，$v\max=A\omega$ の式から求めます。

グラフの形は $+\cos$型か $-\cos$型です。

振動中心で初速度を与える場合

与えた初速度の大きさが振動中心での速さ $v\max$ になります。$v\max=A\omega$ の式から振幅 $A$ を求めます。

$x$ 軸正の向きに初速度を与えた場合は $+\sin$型のグラフに，負の向きに初速度を与えた場合は $-\sin$型のグラフになります。

以上が単振動の基本の全てです！

確認事項は多いですが，とにかく解析手順の4つのStepに沿って考えていけばほぼ全ての問題が解けます！

原点の取り方について

ばねが自然長となる位置を原点としてしまったのでやや複雑になりましたが，つり合いの位置を原点にとるとより簡潔になります。

この原点ではばねが $\Bun{mg}{k}$ だけ伸びていることに注意しましょう。

位置 $x$ ではばねが $\bun{mg}{k}+x$ だけ伸びますので，運動方程式は，

$$ma=mg-k\left(\bun{mg}{k}+x\right)=-kx$$とシンプルになります。整理すると，$a=-\Bun{k}{m}x$ ですので，$\omega=\sqrt{\bun{k}{m}}$ が得られますね。

振幅が $A=x_1$ であることと，グラフが $+\cos$型になることは変わらないので，$x=x_1\sin\sqrt{\bun{k}{m}}t$ として $x$ が得られます。

このように，あらかじめつり合いの点（振動中心）を原点にとることができれば，運動方程式を $a=-\text{□}x$ の形に変形することができます（$a=-\text{□}(x-\text{◯})$ の形を作ると必ず $\text{◯}=0$ となるため）。