単振動と力
ここまでの話で，単振動がどんな運動かがわかりました。
しかし！みなさんが学習しているのは「力学」です。
物体にどんな力が働くと，その物体が単振動をするのかがわからないとどうしようもありません。
少し数学的に難しい話になってしまうので，先に答えからお伝えします。
結論
物体に $f=-k(x-x_0)$ の形で表される力が働くとき，物体は $x=x_0+A\sin(\omega t+\varphi)$ で表される単振動を行う。
いきなり結論をいわれてもぱっと理解できないと思いますので，順に見ていきましょう。
復元力
まず，$f=-k(x-x_0)$ という力についてです。
$k$ はある定数だと考えてください。$x-x_0$ は，位置 $x_0$ からの変位を表しています。
これを定数倍して，マイナスを付けたものが $f$ になっています。マイナスが付いていることから，力の向きは $x_0$ からの変位の反対向きということがわかりますね。
これはつまり，$x_0$ に戻す向きです。物体が $x_0$ から右にズレたら左向きに力が働き，左にズレたら右向きに力が働きます。
よって，「$f$ は，$x_0$ からの変位（ズレ）に比例した大きさで，$x_0$ に向かう向きの力」とまとめることができます。
このような力を復元力といい，$k$ を復元力の比例定数と呼びます。
最もわかりやすい復元力の例は，ばねの弾性力ですね。
$x=x_0$ のとき $f=0$ になりますので，$x_0$ は力がつり合う点です。
$x_0$ は単振動の振動中心を表していましたので，単振動の振動中心は，力のつり合いが成り立つ点であることがわかります。
単振動の運動方程式
運動方程式
物体に作用する力が $f=-k(x-x_0)$ のとき，運動方程式は，
$$ma=-k(x-x_0)$$とかくことができます。
加速度は $x$ の2階微分でしたので，これを書き換えると，
$$m\mskip 6mu\bun{\d^2x}{\dt^2}\mskip 5mu=-k(x-x_0)$$という形になります。
これは $x$ についての方程式となっていて，微分を含む形なので「微分方程式」と呼ばれます。
解くのは数学的に難しいので，「この微分方程式を解くと（$x$ を求めると），$x=x_0+A\sin(\omega t+\varphi)$ が得られる」というところは「そういうものだ」と思って納得してください。
これで先に示した「結論」にたどり着くことができました！
解析手順
解析手順について
運動方程式を変形すると，$a=-\mskip 6mu\bun{k}{m}\mskip 5mu(x-x_0)$ という形が出てきますが，加速度は必ず $a=-\omega^2(x-x_0)$ の形でかけるのでした。この2式を比較することで，
$$\omega^2=\mskip 4mu\bun{k}{m}\mskip 5mu\qquad \therefore\quad \omega=\sqrt{\bun{k}{m}\mskip 5mu}$$のように $\omega$ を求めることができます。
つまり単振動の問題を解く際には，運動方程式を立てて，$a=-\stext{□}(x-\stext{◯})$ の形に変形してしまえばよいのです。
これと $a=-\omega^2(x-x_0)$ の形を比較することで，$$\left\{\begin{array}{l}\omega^2=\stext{□} \qquad\therefore \quad \omega=\sqrt{\stext{□}}\\ x_0=\stext{◯}\end{array}\right.$$として角振動数 $\omega$ と振動中心 $x_0$ を求めることができます。
あとは運動の様子を考えながら $x$ の式を求めていく，という手順になります！
ポイント
① $x$ 軸を設定する。可能であれば，振動中心を原点としておく。
② 任意の位置 $x$で運動方程式を立てる。
③ 運動方程式を，$a=-\stext{□}(x-\stext{◯})$ の形に変形する。$\omega=\sqrt{\stext{□}}$，$x_0=\stext{◯}$ として角振動数 $\omega$ と振動中心 $x_0$ を求める。
④ 運動の様子（初期条件）から $x-t$ グラフを考え，問題を解く。
難しい問題でも基本的にはこの手順でパターン化できてしまいます！
特に③の「$a=-\stext{□}(x-\stext{◯})$ の形に変形する」という部分は，意識しないと正しく式変形できません。
「式変形して $a=-\stext{□}(x-\stext{◯})$ の形を作る！」という目的意識を強く持って解き進めることが大切です。
例題
ばね定数 $k$ のばねに，質量 $m$ の物体が接続されている。ばねが自然長となる位置を原点とし，ばねを伸ばす向きを正の向きとして $x$ 軸をとる。以下のそれぞれの状況について，角振動数 $\omega$ を求め，時刻 $t$ における物体の位置 $x$ を求めよ。
時刻 $t=0$ にばねを自然長の位置から $x_1$ だけ伸ばし，そっと手を離した。
時刻 $t=0$ において，原点で物体に速度 $v_1(>0)$ を与えた。
①〜④ のステップについて，順番に確認していきましょう。
ステップ①：$x$ 軸の設定
今回は問題文で $x$ 軸が設定されています。ばねが自然長となる位置（つり合いの位置）が原点になっていますね。
ステップ②：運動方程式
位置 $x$ における物体の力について考えましょう。物体の位置が $x$ のとき，ばねの伸びも $x$ となりますので，作用する力は $f=-kx$ です。
よって，運動方程式は，$$ma=-kx$$となります。
ステップ③：式変形
運動方程式の両辺を $m$ で割ることで，$$a=-\mskip 6mu\bun{k}{m}\mskip 5mux$$となります。
これが最も重要な部分ですね。これより，$\omega^2=\mskip 4mu\bun{k}{m}\mskip 5mu$ であることがわかりますので，$\omega=\sqrt{\bun{k}{m}\mskip 5mu}$ が得られます。
「$x_0-\stext{◯}$」の◯の部分は $0$ ですので，振動中心 $x_0$ は原点になります。そもそもつり合いの位置を原点に取っていたので当然ですね。
ここからは (1) と (2) で初期条件が異なっていますので，別々に考えていきます。
ステップ④：初期条件の考察 (1)
初期条件は，$t=0$ で $x=x_1$ です。この点でそっと手を離していますので，$x=x_1$ が片方の端点になります。
振動中心である原点と，この端点との距離が振幅 $A$ ですので，$A=x_1-0=x_1$ であることがわかります。
もう片方の端点は，振動中心から反対に振幅 $A$ の分だけ進んだ場所になりますので，$0-x_1=-x_1$ ですね。
以上と，時刻 $t=0$ に位置 $x_1$ から単振動が始まったことを合わせると，グラフの概形がわかります。
このグラフは $+\cos$ 型ですので，$$x=x_1\cos\sqrt{\bun{k}{m}\mskip 5mu}t$$であることがわかります。
なお，問題では問われていませんが，振動中心での速さは，$$v\max=A\omega=x_1\sqrt{\bun{k}{m}\mskip 5mu}$$です。
ステップ④：初期条件の考察 (2)
原点で初速度を与えられています。この初速度は，「振動中心での物体の速さ $v\max=A\omega$」に等しくなりますので，
$$A\omega=v_1\qquad\therefore \quad A=v_1\sqrt{\bun{m}{k}\mskip 5mu}$$として振幅 $A$ が得られます。
振動中心が原点であることはわかっていますので，端点は $x=\pm A$ ですね。
$t=0$ において，正の速度で $x$ 軸正の向きに運動を始めることを踏まえると，グラフの概形がの通りであることがわかります。
このグラフは $+\sin$型ですので，
$$x=v_1\sqrt{\bun{m}{k}\mskip 5mu}\sin\sqrt{\bun{k}{m}\mskip 5mu}t$$として $x$ が得られますね。
初期条件の考え方
上の例題で見たように，初期条件によらず ③ までは同じ手順です。
しつこいようですが，$a=-\stext{□}(x-\stext{◯})$ の形を作り出すのが最大のポイントです。
④ については，上の例題で見た2つのパターンがあります。いずれもグラフの概形をかいて，4つのどの型かを考えて $x$ の式を求めるという流れは共通です。
振動中心から離れた点でそっと手を離す場合
手を離した点が端点となります。振動中心との差から振幅 $A$ を求めます。振動中心での速さ $v\max$ は，$v\max=A\omega$ の式から求めます。
グラフの形は $+\cos$型か $-\cos$型です。
振動中心で初速度を与える場合
与えた初速度の大きさが振動中心での速さ $v\max$ になります。$v\max=A\omega$ の式から振幅 $A$ を求めます。
$x$ 軸正の向きに初速度を与えた場合は $+\sin$型のグラフに，負の向きに初速度を与えた場合は $-\sin$型のグラフになります。
以上が単振動の基本の全てです！
確認事項は多いですが，とにかく解析手順の4つのStepに沿って考えていけばほぼ全ての問題が解けます！
様々な問題の演習を通じて，「確かにどれも解き方同じだ！」という実感を得てください。
例題
天井からぶら下げられた，ばね定数が $k$ のばねに質量が $m$ の物体を取り付ける。はじめ，物体はつり合いの位置で静止していた。そこからさらにばねを鉛直下向きに $x_1$ だけ引っ張り，時刻 $t=0$ にそっと手を離すと，物体は単振動をはじめた。ばねが自然長となる位置を原点とし，鉛直下向きに $x$ 軸をとるものとする。重力加速度の大きさを $g$ として，以下の設問に答えよ。
単振動の周期 $T$ を求めよ。
時刻 $t$ における物体の位置 $x$ を求めよ。
物体の速度がはじめて最大となる時刻および，そのときの速度を求めよ。
位置 $x$ における物体の力の作用図は以下の通り。
運動方程式より，
$$ma=mg-kx$$が成り立つ。
これを整理すると，$$a=-\mskip 6mu\bun{k}{m}\mskip 5mu\left(x-\mskip 6mu\bun{mg}{k}\mskip 5mu\right)$$が得られるため，物体は角振動数が $\omega=\sqrt{\bun{k}{m}\mskip 5mu}$，振動中心が $x_0=\mskip 4mu\bun{mg}{k}\mskip 5mu$ であるような単振動を行う。
よって，求める周期 $T$ は，
$$T=\mskip 4mu\bun{2\pi}{\omega}\mskip 5mu=2\pi\sqrt{\bun{m}{k}\mskip 5mu}$$
手を離した点が単振動の端点となる。
振動中心 $x_0=\mskip 4mu\bun{mg}{k}\mskip 5mu$ はつり合いの位置でもあるため，振動中心と端点の距離は $x_1$ であることがわかる。
すなわち，$A=x_1$ が成立する。
また，もう片方の端点は，$x=x_0-A$ である点を踏まえると，$x-t$ グラフは次の通りになる。
このグラフは $+\cos$型なので，
$$\begin{aligned} x&=x_0+A\sin\omega t\\ &=\mskip 4mu\bun{mg}{k}\mskip 5mu+x_1\sin\sqrt{\bun{k}{m}\mskip 5mu}t \end{aligned}$$
物体の速度が最大となるのは，振動中心を $x$ 軸正の向きに向かって物体が通過するときである。
よって $x-t$ グラフより，求める時刻は，
$$\bun34T=\mskip 4mu\bun{3\pi}{2}\mskip 5mu\sqrt{\bun{m}{k}\mskip 5mu}$$である。
このときの速度は $v\max=A\omega$ に等しく，
$$\begin{aligned} v\max&=A\omega\ &=x_1\sqrt{\bun{k}{m}\mskip 5mu} \end{aligned}$$
原点の取り方について
ばねが自然長となる位置を原点としてしまったのでやや複雑になりましたが，つり合いの位置を原点にとるとより簡潔になります。
この原点ではばねが $\Bun{mg}{k}\mskip 5mu$ だけ伸びていることに注意しましょう。
位置 $x$ ではばねが $\bun{mg}{k}\mskip 5mu+x$ だけ伸びますので，運動方程式は，
$$ma=mg-k\left(\bun{mg}{k}\mskip 5mu+x\right)=-kx$$とシンプルになります。整理すると，$a=-\mskip 6mu\bun{k}{m}\mskip 5mux$ ですので，$\omega=\sqrt{\bun{k}{m}\mskip 5mu}$ が得られますね。
振幅が $A=x_1$ であることと，グラフが $+\cos$型になることは変わらないので，$x=x_1\sin\sqrt{\bun{k}{m}\mskip 5mu}t$ として $x$ が得られます。
このように，あらかじめつり合いの点（振動中心）を原点にとることができれば，運動方程式を $a=-\stext{□}x$ の形に変形することができます（$a=-\stext{□}(x-\stext{◯})$ の形を作ると必ず $\stext{◯}=0$ となるため）。
振動中心が容易にわかる場合には，その場所を原点に設定すること！
