衝突，分裂，合体以外
「衝突・分裂・合体では運動量保存則！」という魔法の言葉がありました。
しかし，衝突・分裂・合体以外の状況では運動量保存則が成り立たないかといわれるとそんなことはありません。
そもそも運動量保存則が成立する条件は，「系に外力が作用しないこと」でしたね。
衝突・分裂・合体以外でこの条件が成立する状況を確認してみましょう。
例題
質量 $M$ の台が滑らかな床の上に置かれている。台の左端は壁に接しており，壁の上面と台の上面は滑らかに接続されているとみなせるものとする。壁の上面を運動してきた質量 $m$ の物体が，時刻 $t=0$ に速さ $v$ で台の上面に乗り移った。台の上面は粗く，2物体間の摩擦力によって台は右向きに運動をはじめた。やがて，物体と台はの速さは等しくなり，一体となって右向きに運動を続けた。物体と台の間の動摩擦係数を $\mu\prime $，重力加速度の大きさを $g$ として，以下の問いに答えよ。
一体となった後の物体の速さ$V$ を求めよ。
物体と台の速度が $V$ となる時間 $t_1$ を求めよ。
物体が台の上を滑った距離 $L$ を求めよ。
(1)の考え方
物体が台に乗り移った後の状況を考えてみましょう。
物体，台に作用する水平方向の力はそれぞれ次の通りです。なお，図中の $N$ は，台が物体に及ぼす垂直抗力の大きさです。
図にはかきませんでしたが，物体の鉛直方向の力のつり合いより，$N=mg$ であることは直ちにわかります。
この動摩擦力は，2物体間に作用・反作用がいずれも存在しているので内力ですね！
水平方向にはこの内力しか作用していないため，運動量保存則が成立することがわかります。
物体が台に乗り移った瞬間からずっと内力しか作用しないため，十分に時間が経過するまで（それ以降も）ずっと運動量保存則が成り立ちます。
そこで，物体が台に乗り移った直後と，一体となって運動している状況について，運動量保存則を立式します。
$$mv=mV+V\qquad\therefore \quad V=\mskip 4mu\bun{m}{m+M}\mskip 5muv$$として答えが得られますね。
(2)の考え方
いくつか方法があります。
最も思いつきやすいのは，等加速度運動の公式を愚直に使う方法でしょうか。
2体問題における運動量保存則
物体と台に作用する動摩擦力は大きさが一定ですので，物体も台も等加速度運動を行います。
加速度をそれぞれ $a_1,\,a_2$ とすると，運動方程式として，
$$ma_1=-\mu\prime mg,\ Ma_2=\mu\prime mg$$が成立します。
これより，$a_1=-\mu\prime g$，$a_2=\mskip 4mu\bun{\mu\prime mg}{M}\mskip 5mu$ であることがわかりますね。
壁の位置を原点として，水平右向きに $x$ 軸をとると，等加速度運動の公式から，物体の速度 $v_1$ および台の速度 $v_2$ は，
$$v_1=v+a_1t,\ v_2=a_2t$$ですね。
$v_1=v_2=V$ を解くことで，
$$t_1=\mskip 4mu\bun{M}{m+M}\mskip 5mu\cdot\mskip 6mu\bun{v}{\mu\prime g}\mskip 5mu$$として答えが得られます。
少し計算量が多くてややこしいですね。
そこで，「求めるものが経過時間」であることに注目してみましょう。
経過時間が含まれるものとして力積がありましたね。
一定の力 $F$ が時間 $\varDelta t$ だけ加わったときの力積は $I=F\varDelta t$ であり，物体の運動量の変化に等しくなるのでした。これを利用した方法を考えてみましょう。
運動量変化と力積の関係を用いる方法
運動量保存則と異なり，台のみに注目します。
台上に物体が乗り移ったことによって，台は右向きに $\mu\prime mg$ の動摩擦力を受け始めます。
この動摩擦力は物体と台が一体となるまで作用し続けるため，作用した時間は $t_1$ ですね。
よって，台が右向きに受けた力積は $\mu\prime mgt_1$ です。
台はもともと静止していましたが，速さが $V$ となったため，運動量の変化は $MV-0=MV$ です。
よって，運動量変化と力積の関係より，
$$MV=\mu\prime mgt_1$$と立式できます。
これを整理することで，
$$t_1=\mskip 4mu\bun{MV}{\mu\prime mg}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{M}{m+M}\mskip 5mu\cdot\mskip 6mu\bun{v}{\mu\prime g}\mskip 5mu$$として答えが得られます。
先ほどと同じ値ですが，計算量が少なく，スッキリした答案になっていますね。
(3)の考え方
最後は台上の移動距離です。まずは愚直に等加速度運動の公式から考える方法です。
等加速度運動の公式を使う方法
時刻$t=t_1$ における物体と台の位置をそれぞれ $x_1,\,x_2$ とすると，等加速度運動の公式から，
$$x_1=vt_1+\mskip 4mu\bun12a_1t_1\!^2,\ x_2=\mskip 4mu\bun12a_2t_1\!^2$$であることがわかります。
図から，$L=x_1-x_2$ であることがわかるので，あとは頑張って代入して計算です…！
グラフで考える方法
今回の状況を $v-t$ グラフに整理すると次の通りになります。
$v-t$ グラフをまとめて図示することで，$L=x_1-x_2$ が右の図の三角形の面積を表していることがわかります。
この三角形の面積は，
$$L=\mskip 4mu\bun12vt_1=\mskip 4mu\bun12\cdot\mskip 6mu\bun{M}{m+M}\mskip 5mu\cdot\mskip 6mu\bun{v^2}{\mu\prime g}\mskip 5mu$$として容易に計算できますね。
2体問題における仕事の扱い
エネルギーの考察
さて，例題は無事に解くことができましたが，エネルギーについての考察もしておきましょう。
鉛直方向の力は仕事をしませんので，水平方向に作用していた動摩擦力の仕事を考えます。
動摩擦力が物体にした仕事は $W_1=-\mu\prime mgx_1$，台にした仕事は $W_2=\mu\prime mgx_2$ とかけるので，動摩擦力の合計の仕事は，
$$W=W_1+W_2=-\mu\prime mg(x_1-x_2)=-\mu\prime mgL$$です。
なんだかスッキリした形になりましたね。
台の視点で考える
ところで，$L$ は物体が台上を滑った距離でした。台の視点からこの仕事を考えてみましょう。
台の視点から物体の運動をみると，「右向きに $L$ だけ進んで止まる」というシンプルなものになります。
運動している際には，進行方向と逆向きに $-\mu\prime mg$ の動摩擦力を受けていますね（視点が変わっても力の大きさ，向きは変わらない！）。
ということで，台の視点からみた動摩擦力の仕事$W\prime $ を計算すると，
$$W\prime =-\mu\prime mgL$$です。
結論
ということで，$W$ と $W\prime $ が一致しましたね！
$W$ は「静止系において，動摩擦力が2物体にした仕事の合計」であり，$W\prime $ は「片方の視点（今回は台で考えた）で求めた動摩擦力の仕事」です。
今回の状況に限らず，一般に以下のことが成立します。
内力の合計の仕事
内力が2物体になす仕事の合計は，片方の物体の視点から計算した際の仕事に等しくなる。
エネルギー保存則として
このことがわかっていれば，系に対して動摩擦力がした仕事の合計が速やかに得られます。
この仕事が系の力学的エネルギーの変化量に等しくなるため，
$$\bun12(m+M)V^2-\mskip 6mu\bun12mv^2=-\mu\prime mgL$$と立式できますね。
結局，等加速度運動の公式を使わなくとも，
$$\begin{aligned} \stext{運動量保存則：}&\ mv=(m+M)V\\ \stext{運動量変化と力積の関係：}&\ MV=\mu\prime mgt_1\\ \stext{エネルギー保存則：}&\ \bun12(m+M)V^2-\mskip 6mu\bun12mv^2=-\mu\prime mgL \end{aligned}$$という3つのシンプルな式で全ての設問が解けるのです。
