2物体の衝突
衝突の考え方
直線上で2物体が衝突する状況を考えてみましょう。
運動方程式を立てて解ければそれでよいのですが，衝突中は互いに及ぼし合う垂直抗力の大きさが非常に大きく，時間変化もするため，運動方程式から運動を解析するのが困難です。
そこで撃力を扱った際と同じように，運動量変化と力積の関係を考えてみましょう。
簡単な例
質量 $m_1$ の小球1が，質量 $m_2$ の小球2に衝突するとします。
衝突前の各小球の速度が $v_1,\,v_2$，衝突後の各小球の速度が $v_1',\,v_2'$ であるとしましょう。
衝突中に小球1が受ける力を $F$ とした場合，小球2が受ける力は $-F$ とかけます（作用・反作用の法則！）。
ここから先は，それぞれの物体について運動量変化と力積の関係を立式します。
小球1について
衝突前の運動量は $m_1v_1$，衝突後の運動量は $m_1v_1'$ です。
衝突中に受けた力積は，$\int_{t_1}^{t_2}F\dt=I$ とかけるので，運動量変化と力積の関係は，
$$m_1v_1'-m_1v_1=\int_{t_1}^{t_2}F\dt\text{\quad……\ ①}$$です。
小球2について
小球2が受ける力は $-F$ とかくことができます。よって，衝突中に受ける力積も，
$$\int_{t_1}^{t_2}(-F)\dt=-\int_{t_1}^{t_2}F\dt=-I$$とかけますね。
運動量変化と力積の関係は，
$$m_2v_2'-m_2v_2=-\int_{t_1}^{t_2}F\dt\text{\quad……\ ②}$$です。
結論
①，② 式を辺々足すことで，
$$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'$$という式が得られます。
左辺は衝突前の2つの小球の運動量の和を，右辺は衝突後の2つの小球の運動量の和を表しており，これらが等しくなっていますね。
つまり，衝突の前後で「運動量の和が保存されている」といえるわけです。
これを運動量保存則と呼びます。
運動量が保存する条件
成立条件
「運動量変化と力積の関係」から「運動量保存則の式」が出てきましたが，2物体の受ける力がいずれも作用・反作用のみであり，各物体の「運動量変化と力積の関係」を足し合わせたときに力積が打ち消し合う点がポイントです。
足し合わせたときに，力積が打ち消し合わなければ運動量の和も保存されないことになります。
よって，運動量保存則が成立する条件は，「2物体の合計の力積が $0$ になる」ことだとわかりますね。
これはつまり，2物体に作用する力が作用・反作用のように互いに打ち消し合う力のみであればよい，ということになります。
内力
「系の内部に作用も反作用も含まれている」ような力のことを内力と呼びます。
これまでの話は，「系に内力のみが作用するとき，運動量の和が保存される」とまとめることができますね。
一方，2物体の中で互いに打ち消し合わない力（外部から作用する力など）のことを外力と呼びます。
運動量保存則
2物体に内力のみが作用するとき，運動量の和が保存される。すなわち，
$$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'$$が成立する。
エネルギー保存則との比較
さて，重要なのでもう一度いいますが，運動量保存則が成立する条件は「系に内力のみが作用する」（系に外力が作用しないこと）です。
力学的エネルギーが保存される条件は，「非保存力が仕事をしない」でした。
この2つ，非常に混ざりやすいのでしっかりと区別して確認しておきましょう。
「系に外力が仕事をしない」や「非保存力が作用しない」といった，よくわからない迷言を生み出さないようにくれぐれも気をつけてください！
例題
$x$ 軸上を，質量が $3.0\kg$ の小球Aと，質量が $4.0\kg$ の小球Bが運動している。はじめ，小球Aの速度は $6.0\ms$，小球Bの速度は$-2.0\ms$ であった。衝突後の小球Bの速度が $1.0\ms$ であるとき，衝突後の小球Aの速度を求めよ。
「運動量保存則だ！」という点は気付きやすいと思います。
運動量保存則を立式する際のポイントは，「簡易的でよいので必ず図をかくこと」です。
この際，速度は符号付きであることに注意してください。
符号付きで表現し，正の向きに揃えて速度をかくと便利です。
求める速度を $v$ とすると，衝突前後の運動の様子は図の通り。
運動量保存則より，
$$3.0\times6.0+4.0\times(-2.0)=3.0\times v+4.0\times1.0$$
これを解いて，
$$v=2.0\ms$$
運動量保存則を考える状況
いつ立てる？
等加速度運動のように，運動方程式が解ける場合にはそもそも運動量保存則を立てようと思いませんよね。
問題を解く際に，「運動量保存則を立てよう！」と考える状況は，衝突・分裂・合体の3つです。
これは呪文のように何度も唱えて覚えておきましょう。
衝突・分裂・合体では運動量保存則！！
例題
以下のそれぞれの状況について，運動量保存則を立式せよ。
摩擦のない氷面上に質量が $M$ の大人が静止している。速度 $v$ で滑っている質量 $m$ の子どもが大人に飛び乗って合体した結果，大人と子どもは一体となって速度 $V$ で運動した。
水面に浮かぶ質量が $M$ の船の上に，質量が $m$ の子どもが乗って静止している。子どもが船から速さ $v$ で飛び降りると，船は反対向きに $V$ の速さで移動した。
合体の前後の様子は次図の通り。
運動量保存則より，
$$mv+M\cdot0=(m+M)V$$
分裂の前後の様子は次図の通り。
運動量保存則より，
$$m\cdot0+M\cdot0=mv+M\cdot(-V)$$
平面運動における運動量保存則
2次元空間での議論
2次元空間内で衝突が起こる場合も同様に運動量保存則が成立します。
成立条件はやはり「系に外力が作用しないこと」です。
2次元ですので，速度はベクトルを用いて表現します。
2物体の衝突であれば，
$$m_1\vec{v_1}+m_2\vec{v_2}=m_1\vec{v_1'}+m_2\vec{v_2'}$$となります。
「ベクトルの和の保存なんてややこしい！」という声が聞こえてきそうですが，結局は2方向に分解して，それぞれの方向で運動量保存則を立ててしまえばよいことが多いです。
2次元空間での運動量保存則
2物体に内力のみが作用するとき，運動量の和が保存される。すなわち，
$$m_1\vec{v_1}+m_2\vec{v_2}=m_1\vec{v_1'}+m_2\vec{v_2'}$$が成立する。
問題を解く際には，2方向に分解して，それぞれの方向で運動量保存則を立式する。
言葉で表現しても伝わりづらいと思いますので，例題を通じて問題の解き方を確認しましょう。
例題
$xy$ 平面内において，質量が $m$ の小球2が静止している。この小球に，$(v_0,\,0)$ の速度で質量が $\Bun13m$ の小球1が衝突した。衝突後，小球1は $x$ 軸から測って $\theta$ の方向へ速さ $V$ で運動し，小球2は $-60\Deg$ の方向に $\Bun12v_0$ の速さで運動した。以下の問いに答えよ。
$\tan\theta$ を求めよ。
$V$ の値を求めよ。
衝突後の小球1の速度は $\left(V\cos\theta,\,V\sin\theta\right)$，小球2の速度は $\left(\bun14v_0,\,-\bun{\sqrt3}{4}v_0\right)$ とかける。
$x$ 軸方向の運動量保存則より，
$$\bun13mv_0=\bun13mV\cos\theta+\bun14mv_0$$
$y$ 軸方向の運動量保存則より，
$$0=\bun13mV\sin\theta-\bun{\sqrt3}{4}mv_0$$
2式を整理して，
$$\begin{array}{l}V\sin\theta=\bun{3\sqrt3}{4}v_0\stext{\quad……\ ①}\\V\cos\theta=\bun14v_0\stext{\quad……\ ②}\end{array}$$
辺々割ることで，$\tan\theta=3\sqrt3$ を得る。
①，② の両辺を2乗して足し合わせると，
$$V^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=\left(\bun{3\sqrt3}{4}v_0\right)^2+\left(\bun14v_0\right)^2$$
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ であることに注意して，
$$\begin{aligned} V^2=\bun74v_0\!^2\qquad\therefore\quad V=\bun{\sqrt7}{2}v_0 \end{aligned}$$
ベクトルの図で考える
さて，2方向に分解する方法でも上のようにスムーズに解けるのですが，ベクトルの関係式のまま解くという方法もあります。
$$m_1\vec{v_1}+m_2\vec{v_2}=m_1\vec{v_1'}+m_2\vec{v_2'}$$というベクトルの関係式のまま考えていきたいので，まずは衝突前後の各小球の運動量をベクトルの図で整理してみます。
衝突前の運動量の和は $\vec{p_1}+\vec{0}=\vec{p_1}$，衝突後の運動量の和は $\vec{p_1'}+\vec{p_2'}$ となるので，運動量保存則は，
$$\vec{p_1}=\vec{p_1'}+\vec{p_2'}$$という形で表現されます。
この関係を1つの図にまとめると，左の図の平行四辺形ができあがります。それをさらに書き換えたのが，右の三角形です。
この三角形における余弦定理から，
$$\left(\bun13mV\right)^2=\left(\bun12mv_0\right)^2+\left(\bun13mv_0\right)^2-2\cdot\bun12mv_0\cdot\Bun13mv_0\cos60\Deg$$と立式できます。これを整理することで，
$$V=\bun{\sqrt7}{2}v_0$$が得られますね。