回路②

回路の問題の解き方

複数の抵抗が複雑につながれた回路でも，合成抵抗の考え方を用いれば解いていくことができます。

キルヒホッフの第二法則を使いこなせないと解けない問題は物理基礎の範囲では出題されません。

しかし，キルヒホッフの第二法則を使ってしまったほうが早く解ける問題があることもまた事実です。

ここまでの学習内容を踏まえて，それぞれの解法を比較しながら例題を見ていきましょう。

(1) については，$\rmR_1$ と $\rmR_2$ を流れる電流の和が $I_3$ になるので，

$$I_3=I_1+I_2\stext{\quad……①}$$でokです（キルヒホッフの第一法則として考えられます）。

オームの法則，合成抵抗を利用する方法

まず，オームの法則から，$\rmR_1$ と $\rmR_2$ にかかる電圧はそれぞれ，

$$V_1=R_1I_1,\ V_2=R_2I_2$$として計算できますね。

これらの抵抗は並列につながれているため電圧は等しく，$V_1=V_2$ が成り立ちます。

これを整理することで，

$$I_2=\mskip 4mu\bun{R_1}{R_2}\mskip 5muI_1\stext{\quad……②}$$が成り立つことがわかります。

まず，並列につながれている $\rmR_1$ と $\rmR_2$ を合成し，その合成抵抗 $\rmR\prime $ の抵抗値を $R\prime $ とします。

このとき，並列につながれた抵抗の合成なので，

$$\bun{1}{R\prime }\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{1}{R_1}\mskip 5mu+\mskip 4mu\bun{1}{R_2}\mskip 5mu$$が成り立ちます。

続いて，$\rmR_3$ と $\rmR\prime $ が直列につながれている状況ですので，これらを合成した合成抵抗 $\rmR$ の抵抗値を $R$ とします。

このとき，直列につながれた抵抗の合成なので，

$$R=R_3+R\prime $$が成立します。

これらを計算すると，

$$R=\mskip 4mu\bun{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_1+R_2}\mskip 5mu$$であることがわかります。

回路を見ると，起電力が $V$ の電池に抵抗値が $R$ の抵抗がつながれていて，$I_3$ の電流が流れている，という状況になっていますので，オームの法則 $V=RI_3$ より，

$$I_3=\mskip 4mu\bun{R_1+R_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\mskip 5muV\stext{\quad……③}$$が得られます。

② と ③ を ① に代入することで，
$$\begin{aligned} I_3&=\mskip 4mu\bun{R_1+R_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\mskip 5muV\\&=I_1+\mskip 4mu\bun{R_1}{R_2}\mskip 5muI_1\\&=\mskip 4mu\bun{R_1+R_2}{R_2}\mskip 5muI_1 \end{aligned}$$が得られるので，これを整理することで，

$$I_1=\mskip 4mu\bun{R_2V}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\mskip 5mu$$として $I_1$ が計算できます。

これをさらに ② に代入することで，

$$I_2=\mskip 4mu\bun{R_1V}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\mskip 5mu$$が得られます。

キルヒホッフの第二法則を利用する方法

オームの法則より，それぞれの抵抗にかかる電圧は，

$$V_1=R_1I_1,\ V_2=R_2I_2,\ V_3=R_3I_3\stext{\quad……④}$$と計算できます。

これを踏まえて電圧の三角形をかき込んだ回路図は次の通りになります。

続いて，以下の2つの閉回路におけるキルヒホッフの第二法則を考えます。

キルヒホッフの第二法則から，$V_1=V_2$ であることがすぐにわかりますね（「並列につながれている抵抗にかかる電圧は同じ」と意味していることは同じです）。

④ を踏まえると，

$$R_1I_1=R_2I_2\qquad\therefore \quad I_2=\mskip 4mu\bun{R_1}{R_2}\mskip 5muI_1\stext{\quad……⑤}$$と整理できます。

起電力が電池の $V$，電圧降下が $V_1$ と $V_3$ の2つですので，キルヒホッフの第二法則から，$V=V_1+V_3$ と立式できます。

① と ④ を踏まえると，

$$V=R_1I_1+R_3(I_1+I_2)$$であることがわかります。

これに ⑤ を代入して整理することで，

$$I_1=\mskip 4mu\bun{R_2}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\mskip 5muV$$が得られます。

さらにこれを再び ⑤ に代入することで，

$$I_2=\mskip 4mu\bun{R_1}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}\mskip 5muV$$として $I_2$ が計算できます。

慣れてしまえば，キルヒホッフの第二法則を使う方法の方が圧倒的に少ない計算で素早く解けます。

合成抵抗を利用する方法でも解けなくはないので物理基礎の試験でもこうした問題は出題されるのですが，キルヒホッフの法則を知っていると周りの受験生よりも楽に素早く解けるわけですね。

必須なテクニックではありませんが，慣れると強い武器になるのでぜひ習得しましょう。

使わなかったループ

なお，次の閉回路におけるキルヒホッフの第二法則は立式せずに問題を解くことができました。

回路の中のループを探すと合計で3つ見つかるわけですが，そのうち2つのループでキルヒホッフの第二法則を立式すれば十分です。

残りのループにおけるキルヒホッフの第二法則の式は，これら2つのループのキルヒホッフの第二法則から導かれるものと同値であり，独立な式ではないので不要なのです。

ジュール熱

抵抗を電流が流れる際，熱が発生することが知られています。この熱をジュール熱と呼びます。

抵抗値が $R$ の抵抗に $V$ の電圧がかかり，$I$ の電流が流れているとき，その抵抗から単位時間あたりに発生するジュール熱は，

$$P=IV=RI^2=\mskip 4mu\bun{V^2}{R}\mskip 5mu$$です。

特にこの単位時間あたりに抵抗で生じるジュール熱を消費電力といいます。単に電力ともいいます。単位は仕事率と同様で，$\punit{W}$（ワット）です。

この式の証明には物理基礎の範囲を超えた知識が必要なので，覚えてしまってokです。

なお，3つの形をかきましたが，このうち1つだけ覚えておいて，他の形はオームの法則から導くようにしましょう。

様々な問題を解いているうちに，いずれの形も自然に覚えると思います。

また，上で示した $P$ は，単位時間あたりに発生する熱量であることに注意して下さい。

この抵抗に時間 $t$ の間だけ電流を流し続けた際に発生する合計の熱量 $Q$ は，$Q=Pt$ となります。

起電力について学んだ際に，「電池は回路に電流を流すために，正の電荷を高い位置に持ち上げるポンプの役割をしている」という話をしました。

これってつまり，「電池が仕事をしている」ということに他ならないですよね。

物体が仕事をしてもらったとき，その分の運動エネルギーが発生するのでした。

回路全体で考えても同様に，電池が仕事をした分，どこかでエネルギーが発生しているはずです。

それが抵抗におけるジュール熱なのです。