正弦波の反射

正弦波の反射

壁による正弦波の反射

波を反射させる壁に対して正弦波を送り続けたらどうなるでしょうか…？

壁から反射波が返ってくるので，右に進む入射波と，反射されて戻ってきて左に進む反射波が常に重なり合う状況になりますよね。

入射波も反射波も正弦波ですので，右向きに進む正弦波と左向きに進む正弦波の重ね合わせを考えることになります。

そう，定在波ができあがるのです。

反射のグラフ

具体的にグラフをかいて考えてみましょう。

下図のように $x$ 軸上を右向きに進む正弦波を壁に対して送り続けます。

反射波を作図するにあたり，透過波を考える必要がありますので，透過波も破線で示しました。

この波が壁の位置で自由端反射をする場合，透過波をそのまま壁に対して折り返したものが反射波になりますので，次図のグレーの波になります。

このグレーの波は左に向かって進み続けます。

この入射波と反射波を重ね合わせた合成波が定在波になります。

2つのグラフが重なっているところは変位 $y$ が等しいので高さを $2$ 倍に，変位がちょうど正反対になっているところは足し合わせると $0$ になるので $y=0$ に，と考えていき，これらの点を滑らかに結びます。

この際，定在波の波長は元の波と同じ，といった点にも留意しながら作図するとよいでしょう。

なお，時刻を進めていくと下図のように定在波が動きます。

図からわかる通り，壁の位置は定在波の腹になっています。

上の手順で作図をすればもちろんこのことは確認できるのですが，実は作図をしなくてもわかります。

作図をせずに考える方法

今，考えている状況は「自由端反射」です。

自由端反射は，透過波をそのまま折り返すことで作図をしました。この際，壁付近で波を考えてみましょう。

仮に入射波の変位が壁付近（壁よりほんのわずかに左の位置）で $10\m$ だったとします。

壁付近（壁よりほんのわずかに左の位置）の透過波の変位はどうでしょうか。壁を挟んで入射波と透過波は連続しているので，透過波の変位も $10\m$ のはずですよね。

ということは，それを折り返した反射波の壁付近（壁よりほんのわずかに左の位置）の変位も $10\m$ になります。

このように，入射波も反射波も壁付近（壁よりほんのわずかに左の位置）では常に変位が等しくなるのです。

これらを足し合わせた合成波の変位は結局，入射波の変位の $2$ 倍ということになりますから，激しく変動しますよね。つまり，定在波の腹になるのです。

入射波の変位が壁付近（壁よりほんのわずかに左の位置）で $10\m$ だった場合，反射波は上下反転して返ってくるので，壁付近（壁よりほんのわずかに左の位置）の反射波の変位は $-10\m$ になります。

このように，入射波と反射波は常に変位が正反対になるので，足し合わせると常に $0\m$ になります。

ということは，壁の位置の媒質は全く振動しないことになるので，定在波の節になることがわかりますよね。

というよりそもそも，「固定端」なのですから，壁の位置の媒質は固定されていて動かないのは当然です。

「壁の位置で固定されてるんでしょ！ということは壁の媒質は動かないんだから，定在波の節！」と考えてしまってokです。

固定端反射の問題です。定在波を丁寧に考えるなら，透過波を用いて作図をしないといけません。

が，腹の位置だけがわかればよいのです。この手の問題ではとにかく，「腹もしくは節を1つ見つけて，それを元に他の腹と節の位置を求める」のが定石です。

今回はそう，壁の位置ですよね。固定端反射ですから，$x=5.0\m$ の位置の媒質は固定されていて動けないはず。

当然，定在波の節になります。

では，そのすぐ隣の腹はどこにあるでしょうか。

定在波の腹-節間隔は $\Bun{\lambda}{4}$ と決まっていますので，今回の問題では $\Bun{\lambda}{4}=1.0\m$ です。

よって，壁の位置の節から $1.0\m$ だけ戻った $x=4.0\m$ の位置が腹になります。

その隣の腹はどこでしょうか。腹-腹間隔は $\Bun{\lambda}{2}=2.0\m$ ですから，$x=4.0\m$ から $2.0\m$ だけ戻った $x=2.0\m$ の位置ですね。

ここから $2.0\m$ 戻るごとに腹が現れることがわかります。よって，$0\leqq x\leqq 5.0$ の範囲の腹は，$x=0,\,2.0,\,4.0\m$ です。

透過波を用いた方法ももちろん大事ですが，腹と節の位置を知るだけであればこちらの方法が圧倒的に楽ですので，ぜひ習得してください。