定在波

定在波

互いに逆向きに進むパルス波の重ね合わせについて確認しましたが，互いに逆向きに進む正弦波進行波が重なり合い続けると一体どのような波ができあがるでしょうか…？

なかなか想像するのが難しいと思いますので，実際に作図をしながら考えてみましょう。

なお，2つの正弦進行波は周期 $T$，波長 $\lambda$，振幅 $A$がいずれも互いに等しいものとします。

いきなり合成波を考えると難しいので，まずは足し合わせる前のそれぞれの波の波形を考えます。

右向きに進む波を灰色で，左向きに進む波を黒の点線で示しています。

時刻 $t=0$ で下の図の状況であったとしましょう。左右に進むそれぞれの波がピッタリ重なっている状況です。

この状況での合成波は難しくないですね。どちらの波もピッタリ重なっているので，重ね合わせでできる合成波は高さが $2$ 倍の波になります。

合成波には色を付けて示しています。山の高さも元の $2$ 倍で $2A$ になりますね。

では，時刻 $t=\mskip 4mu\bun18T$，$t=\mskip 4mu\bun14T$，$t=\mskip 4mu\bun38T$，$t=\mskip 4mu\bun12T$ においてはそれぞれどのようになるでしょうか。

時刻 $t=0$ と同様に，右向きに進む波を灰色で，左向きに進む波を黒の点線で，合成波には色を付けて示します。

なお，灰色の波と点線の波（重ね合わせる前のそれぞれの波）は時間が $T$ だけ経過するごとに $\lambda$ だけ進むので，$\Bun18T$ の間に $\bun18\lambda$ だけ進むことに注意して作図します。

少し込み入っていますが，$\Bun18T$ 経過するごとに灰色の波を右に $\bun18\lambda$ だけ，点線の波を左に $\Bun18\lambda$ だけ進めて，それらを足し合わせた色付きの合成波を作成する，という作図です。

実際に観測されているのは色付きの合成波のみです。

さて，こうして完成した色付きの合成波のみを取り出して，時刻 $t=0$ から $t=\mskip 4mu\bun12T$ にかけて徐々に濃くなるように並べてグラフに表してみます。

$x=\mskip 4mu\bun12\lambda,\,\lambda,\,\bun32\lambda,\,\ldots$ のように，時刻に関係なく動かない媒質があります。

一方で，$x=\mskip 4mu\bun14\lambda,\,\bun34\lambda,\,\bun54\lambda,\,\ldots$ のように，$2A$ の振幅で激しく動く媒質もあります。

波全体は左右どちらに動いている，というわけではなく，その場で振動しているように見えます。

このような，波形が進むように見えない波を定在波と呼びます。

一方，これまで見てきた正弦進行波のように，時間の経過に伴って左右に進む波を進行波と呼んでいたのでした。

定在波の特徴

定在波の特徴について確認していきましょう。

まず先ほど述べた通り，「時刻に関係なく動かない媒質」や「$2A$ の振幅で激しく動く媒質」のように，媒質の運動は位置によって大きく異なります。

前者のような，時刻によらず全く振動しない点を節ふし，後者のような，最大振幅で大きく振動する点を腹はらといいます。

図に示した通り，波長は合成する前の進行波の波長と等しく $\lambda$ となります。

このことから，節と節の間隔は $\Bun{\lambda}{2}\mskip 5mu$，腹と腹の間隔も $\Bun{\lambda}{2}\mskip 5mu$，隣り合う腹と節の間隔は $\Bun{\lambda}{4}\mskip 5mu$ であることがわかります。

また，定在波の周期は元の進行波の周期と一致し，$v=f\lambda$ や $f=\mskip 4mu\bun{1}{T}\mskip 5mu$ といった関係式も進行波と同様に成立します。

できあがる定在波の波長は元の進行波と等しいので，$\lambda=4.0\m$ です。振幅は元の進行波の $2$ 倍なので，$A=2.0\m$ になります。

定在波についても波動の基本公式 $v=f\lambda$ が適応できます。速さ $v$ は元の波と等しく $v=1.0\ms$ として，これと $\lambda=4.0\m$ を代入することで，

$$1.0=4.0f\qquad\therefore \quad f=\mskip 4mu\bun14\Hz$$が得られます。

$T=\mskip 4mu\bun{1}{f}\mskip 5mu$ ですので，求める周期は $T=4.0\s$ であることがわかります。

進行波の速さは $1.0\ms$ ですから，$t=5.0\s$ において，右に進む進行波の先端の位置は $x=5.0\m$，左に進む進行波の先端の位置は $x=-5.0\m$ です。よって，$-5.0\leqq x\leqq5.0$ の範囲の合成波は定在波になっていることがわかります。

$5.0\m$ だけ波が進んでいますが，波長が $4.0\m$ ですので，波 $\Bun54$ 個分に相当するだけ波が進んでいるはずです。

この点を踏まえて，左右に進む進行波の様子をかくと以下の通りです。見た目は1つの波に見えますが，2つの波が全く同じ位置で重なっています。

求める合成波は，これらの波の重ね合わせですが，全く同じ位置でピッタリ重なっているので，単純に $y$ 方向に $2$ 倍したものになります。

今回の問題は，$-4.0\leqq x\leqq4.0$ の領域のグラフですので，範囲外の部分を点線として示しました。

(2)で求めたグラフから，定在波の節となる位置は，

$$x=-3.0,\,-1.0,\,1.0,\,3.0\m$$であることがわかります。

腹と節の位置の求め方

今回は(2)のグラフがあったので容易に答えが求まりましたが，もしグラフがなかったらどうでしょうか。

この場合，まず「腹もしくは節になるわかり易い場所はないか」を考えて下さい。

1つでも腹もしくは節の場所がわかれば，「腹-腹間隔も節-節間隔も $\Bun{1}{2}\mskip 5mu\lambda$」であることを利用して，他の腹と節の位置を全て求めることができます。

今回の問題であれば，注目すべきは原点でしょう。

原点には左右から同時に波が到達しますが，常に右から届く波と左から届く波の変位 $y$ が等しくなっていますよね。

右からも左からも全く同じものが届き続けます。

合成波はこれらの足し合わせですので，原点の媒質の動きは正弦波1つの場合の $2$ 倍になることがわかります。振幅も元の $2$ 倍となり，大きな振動を行いますよね。

これより，原点の媒質が定在波の腹として振る舞うことがわかります。

腹-腹間隔は $\Bun{\lambda}{2}\mskip 5mu=2.0\m$ ですから，$x=0,\,2.0,\,4.0,\,6.0,\,\ldots\m$ が腹となることが直ちにわかります。

節は腹と腹の間に位置するので，$x=1.0,\,3.0,\,5.0,\,\ldots\m$ が節になることもすぐにわかります。