$y-t$ グラフ

$y-t$グラフ

再びウェーブの例を考えてみましょう。人数が多いほうが長くてきれいなウェーブができますが，今回は10人で考えるものとします。

それぞれの人が立ったり座ったりをずっと繰り返していて，正弦波ができているとしましょう。

時間を止めて考える

このとき，ある時刻で時間を止めてみます。写真を撮った，と考えてもよいですね。

このときの10人の顔の位置を結ぶと正弦波ができあがるわけですが，これをそのままグラフにしたものが $y-x$ グラフでした。

$x$ は人（媒質）の位置を，$y$ はそれぞれの人の顔の位置（基準の位置からの変位。中腰の高さを $y=0$ として，立っているときが $y>0$，座っているときが $y<0$）を表しています。

他の9人の動きが見えなくなってしまうくらいの美人です。

6番目の人（媒質）がその美人だとしましょう。見とれてしまいますよね…？その美人の動きにだけ注目してしまうことでしょう。

そこで，美人の動き（変位）の時間変化を観察することにします。

そして，時間を横軸に，美人の動き（変位）を縦軸にとったグラフを作成してみます。

横軸が時間 $t$，縦軸が美人（注目している媒質）の変位 $y$ であるようなグラフが完成します。

$y-t$ グラフ

このような，「時間経過と，注目している特定の媒質の変位の関係を表したグラフ」を$y-t$グラフと呼びます。

自分が注目している特定の媒質の動き（変位）の歴史を表しているグラフといえるでしょう。

横軸の $t$ は時刻を示し，縦軸の $y$ は特定の媒質の時刻 $t$ における変位（基準点からどれだけずれているか）を表しています。

たとえば，先ほどの美人の動きを表す $y-t$ グラフが以下の通りであったとしましょう。

山の高さと谷の深さが振幅 $A$ を表す点は $y-x$ グラフと同様です。

一方，山から山までの距離は時間 $t$ の1周期を表すことになるので，波長 $\lambda$ ではなく波の周期 $T$ となることに気をつけて下さい。

与えられた $y-t$ グラフから，1周期に相当する時間が $T=0.40\s$ であることがわかります。よって，

$$f=\bun{1}{T}=\bun{1}{0.4}=2.5\Hz$$として振動数が計算できます。

波の速さは $v=f\lambda$ の式から計算できるため，$4.0=2.5\lambda$ が成り立つことがわかります。

これを解くことで，$\lambda=1.6\m$ が得られます。

まず，与えられた $y-t$ グラフが $x=0\m$ の媒質についてのものであることを確認しましょう。

原点の媒質の動きは $y-t$ グラフの通りです。時刻 $t=0\s$ では変位が $y=0\m$ であり，直後に $y$ 軸上向きに進むことがわかります。

以上を元に $y-x$ グラフを考えるわけですが，そもそも $x=0\m$ において $y=0\m$ という条件を満たす正弦波は以下の2種類しかありません。

このうち，「$x=0\m$ の媒質が $t=0\s$ の直後に $y$ 軸上向きに進む」という条件を満たす方が答えとなります。

$t=0\s$ の瞬間の動きについて知りたいわけですから，少しだけ時間を進めて波を動かして考えます。

図の実線で示す波形が，波を少しだけ右向きに進めたものになります。

$x=0\m$ の媒質に注目すると，$y$ 軸を上向きに進んでいるのは右図のグラフであることがわかります。

よって，$\lambda=1.6\m$ であることも含めて $y-x$ グラフをかくと次の通りになります。

2種類のグラフの意味

正弦進行波は，正弦波が進行していくという波動でした。

波は常に時間変化していくので，正弦波を考えるにあたっては，「① 媒質の位置 $x$」「② 媒質の変位 $y$」「③ 時刻 $t$」の3つの変数を考えなければいけません。

どの媒質に注目して，どの時刻を考えるかを決めてはじめて $y$ が求まります。

しかし，これらの要素全てを1つのグラフに表すことはできません（動画であれば可能ですが）。

そこで，「時刻 $t$ を固定して，ある瞬間の波の形に注目するグラフ」を $y-x$グラフ，「注目する媒質 $x$ を固定して，その媒質の変位 $y$ の時間変化に注目するグラフ」を $y-t$ グラフとして表現しているとして考えると，頭の中が整理しやすいかと思います。