コンデンサーと交流回路

コンデンサーと交流回路

具体的な回路で

羽白

コンデンサーについても，交流回路での振る舞いを考えていきましょう。

次の図のように，瞬時値が $V=V_0\sin\omega t$ で表される交流電圧を，電気容量が $C$ のコンデンサーにかけた状況を考えます。

キルヒホッフの第二法則は，
$$V_0\sin\omega t=\bun{Q}{C}$$ですね。

連続方程式から，$I=\Bun{\dQ}{\dt}$ が成立するので，これに $Q=CV_0\sin\omega t$ を代入することで，
$$I=CV_0\cdot \bun{\d}{\dt}\left(\sin\omega t\right)$$が得られます。

$\bun{\d}{\dt}\left(\sin\omega t\right)=\omega \cos\omega t$ ですので，
$$I=\omega CV_0\cos\omega t$$として電流の瞬時値 $I$ を求めることができます。

式の整理

$\cos\omega t=\sin\left(\omega t +\bun{\pi}{2}\right)$ ですので，
$$I=\bun{V_0}{1/\omega C}\sin\left(\omega t +\bun{\pi}{2}\right)$$と整理できますね。

コンデンサーにかかる電圧と電流の関係

やはりわけて考える！

やはり「最大値同士の関係」と「位相同士の関係」をわけて考えるのがポイントです。

$V=V_0\sin\omega t$ の電圧がかかっているときに流れる電流が $I=\bun{V_0}{1/\omega C}\sin\left(\omega t +\bun{\pi}{2}\right)$ から，整理して考えていきましょう。

最大値同士の関係

電圧の最大値が $V_0$ のとき，電流の最大値は $I_0=\Bun{V_0}{1/\omega C}$ でした。

これを整理すると，$V_0=\Bun{1}{\omega C}I_0$ という形になります。この形から，「コンデンサーの抵抗値 $R$ に相当するもの」が，$\Bun{1}{\omega C}$ であることがわかりますね。

この「コンデンサーの抵抗値に相当する値」を 容量リアクタンス と呼びます。この容量リアクタンスを用いることで，最大値同士の間に「オームの法則の形」が成り立ちます。

位相の関係

電圧の瞬時値の位相が $\omega t$ のとき，電流の瞬時値の位相は $\omega t+\Bun{\pi}{2}$ でした。

これより，電流の位相は電圧の位相より $\Bun{\pi}{2}$ だけ進むことがわかります。

羽白

電流が先，電圧が遅れる，です！！コイルの逆ですね！

最大値については，オームの法則の形から考える。コンデンサーの容量リアクタンスは $\Bun{1}{\omega C}$ なので，$V_0=\Bun{1}{\omega C}I_0$ として求めることができる。

電圧の位相は電流の位相よりも $\Bun{\pi}{2}$ だけ遅れる。電流の位相が $\omega t$ であるため，電圧の位相は $\omega t-\bun{\pi}{2}$ である。

以上から，
$$V(t)=\bun{I_0}{\omega C}\sin\left(\omega t-\bun{\pi}{2}\right)$$

$V(t)=\bun{I_0}{\omega C}\cos\omega t$ と整理できるので，時刻 $t$ における消費電力は，
$$P=V(t)I(t)=\bun{I_0\!^2}{\omega C}\sin\omega t\cos\omega t$$である。

ここで，$\sin\omega t\cos\omega t=\Bun{\sin2\omega t}{2}$ の時間平均は $0$ となるので，
$$\overline{P}=\bun{I_0\!^2}{\omega C}\overline{\sin\omega t\cos\omega t}=0$$

消費電力

コイルと同様，コンデンサーの消費電力の時間平均も $0$ です。

羽白

このこともしっかりと覚えておきましょう！

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