誘導起電力の求め方

誘導起電力の具体的な求め方

実際の回路で

さて，これまでの話を踏まえて実際の回路において誘導起電力を求めてみましょう。

右側の部分は右向きに速度 $v$ で動く導体棒になっているものとします。

また，回路の縦幅を $l$，左端から導体棒の位置までの距離を $x$ とし，回路には紙面奥向きに磁束密度 $B$ の磁場がかけられているものとします。

2通りの方法がありますが，どちらも非常に重要ですので確実に理解して下さい！

回路の $\varPhi$ を求めて，$t$ で微分する方法

回路の磁束密度は紙面奥向きに $B$，回路の面積は $S=lx$ で表されるので，
$$\varPhi=SB=lxB$$ですね。

あとはこれを微分すればよいわけですが，導体棒の位置が $x$，速度が $v$ で表されていることから，$\Bun{\dx}{\dt}\mskip 5mu=v$ であることに気をつけましょう。

$l$ と $B$ は時間変化しない定数ですので，
$$V=\left|\bun{d\varPhi}{\dt}\mskip 5mu\right|=\left|l\cdot\mskip 6mu\bun{\dx}{\dt}\mskip 5mu\cdot B\right|=lvB$$として誘導起電力の大きさを求めることができます。

向きは「変化を妨げる」という原則から考えましょう。

導体棒が動くことで回路の面積が大きくなるので，紙面奥向きの磁束が増えます。するとこれを妨げるために，紙面手前向きの磁束を作るような働きかけが生じます。

そのためには回路に反時計回りの電流が流ればよいため，この誘導電流を流す向きに誘導起電力が生じることになります。

$d\varPhi$ を $\dt$ で表す方法

まずは微小時間 $\dt$ の間の面積変化 $\dS$ について考えましょう。

導体棒の速度は $v$ ですので，時間 $\dt$ の間に $v\dt$ だけ移動します。

このときの回路の面積の変化 $\dS$ は，図のグレーの部分の面積になりますね。

長方形の面積を考えることで，
$$\dS=l\cdot v\dt=lv\dt$$であることがわかります。

回路の磁束 $\varPhi$ の変化 $\d\varPhi$ は，この $\dS$ の面積の部分を貫く磁束に等しくなりますので，
$$d\varPhi=B\dS=lvB\dt$$として計算できます。

これを整理することで，
$$\bun{d\varPhi}{\dt}\mskip 5mu=lvB$$が得られます。

誘導起電力の大きさは，$\left|\bun{d\varPhi}{\dt}\mskip 5mu\right|=lvB$ ですね。

動く棒の考え方

よくあるパターン

結論は「棒が速度 $v$ で動いたことで，$lvB$ の誘導起電力が発生した」というものでした。

$lvB$ という値は，「導体棒が単位時間に横切る磁束」を表しています。

「$d\varPhi$ を $\dt$ で表す方法」でも，導体棒が通過した領域を貫く磁束を考えましたよね。

「横切る」

重要なのは，「導体棒が横切っていること」です。

たとえば上図における導体棒の速度が下向きに $v$ だったらどうでしょう？

導体棒が通過する領域は直線になってしまい，通過領域を貫く磁束を考えることがそもそもできませんよね。よって，誘導起電力も生じません。

誘導起電力を正しく求める方法

「導体棒が単位時間に横切る磁束」を正しく求めるためには，「単位時間の間に導体棒が通過した領域を図示して，その領域を貫く磁束を求める」という方法が確実です。

この方法をしっかりと使いこなせるようになりましょう。

向きを考える方法

導体棒上に存在する正の電荷について考えてみましょう。この電荷は，導体棒とともに図の右向きに動いていきます。

「荷電粒子が磁場中を動いている」という状況ですので，ローレンツ力が発生しますね。フレミングの左手の法則から，図の上向きに作用することがわかります。

これより「導体棒が動いたことで，導体棒内の正の電荷が上向きに力を受けて流れる」ことがわかります。

これは「上向きの電池が発生して上向きの電流を流した」ことと同じですので，誘導起電力の向きは導体棒の上向きに電流を流す向きとして求めることができるのです。