ニュートンリング

ニュートンリングとは

使用するガラス

同じく2枚のガラスを使うのですが，やや特殊なガラスが登場します。

1枚は平らな普通のガラスの板ですが，もう1枚は片面が球の一部になっている平凸レンズです。「球の一部」と聞くと，丸っこいようなガラスをイメージするかもしれませんが，非常に半径が大きな球の一部です。

これら2枚のガラスを重ね合わせた様子が次図です。

平凸レンズは球の一部であることがわかりやすいようにかいていますが，実際には先ほど説明したようにレンズの曲率半径 $R$ は非常に大きな値であり，ほぼほぼ平坦です。

干渉する2つの光

平凸レンズの上から光を入射し，反射して戻ってくる2つの光の干渉を考えます。

図中の光① と光② です。光① は，平凸レンズの下面で反射される光，光② は平面ガラスの上面で反射される光です。

注目している場所の空気層の厚さを $y$ とすると，2つの光の経路差は往復で考えて $\varDelta L=2y$ になりますね。

問題はここからで，$y$ を求めるのが少し大変です。図をかいて整理しながら丁寧に確認していきましょう。

状況の整理

まずは必要な座標を設定します。図はわかりやすいようにかいていますが，実際には $y\ll R$ であることに気をつけましょう。

図の $\triangle \rmO\prime \rmP\rmH$ は直角三角形になっています。$\overline{\rmO\prime \rmP}=R$，$\overline{\rmO\prime \rmH}=R-y$，$\overline{\rmP\rmH}=x$ なので，三平方の定理より，

$$R^2=(R-y)^2+x^2\stext{\quad……\ ①}$$

が成り立ちます。

式変形

$y$ を $x$ で表すのが目的なので，この式をさらに整理しないといけません。

そこで注目するのが，「$y\ll R$」です。

$(R-y)^2$ という部分をなんとかして $\left(1+\stext{\hspace{-.5em}（微小量）}\right)^{\alpha}$ の形に変形したいですね。$\Bun{y}{R}\mskip 5mu\ll1$ であることを踏まえると，

$$(R-y)^2=R\left(1-\mskip 6mu\bun{y}{R}\mskip 5mu\right)^2$$

という変形にたどり着くことができるはずです。

「符号が " $+$ " じゃなくて " $-$ " じゃないか！」と思うかもしれませんが，

$$R\left(1-\mskip 6mu\bun{y}{R}\mskip 5mu\right)^2=R^2\left\{1+\left(-\mskip 6mu\bun{y}{R}\mskip 5mu\right)\right\}^2$$

と考えればokですね。

$\left|-\mskip 6mu\bun{y}{R}\mskip 5mu\right|\ll1$ なので近似を用いることができ，

$$\begin{aligned}R^2\left\{1+\left(-\mskip 6mu\bun{y}{R}\mskip 5mu\right)\right\}^2&\neareq R^2\left\{1+2\left(-\mskip 6mu\bun{y}{R}\mskip 5mu\right)\right\}\\&=R^2-2yR\end{aligned}$$

が得られます。

これを ① 式に代入して整理すると，

$$2y=\sqrt{\bun{x^2}{R}\mskip 5mu}$$

となりますので，$\varDelta L=2y=\sqrt{\bun{x^2}{R}\mskip 5mu}$ として経路差が求まります！

ニュートンリングの干渉条件

干渉条件

干渉条件を考えるにあたっては，反射による位相のずれを考える必要がありました。

空気の屈折率はガラスの屈折率より小さいので，光① が反射する際には位相はずれず，光② が反射する際に位相が $\pi$ だけずれます。

これより，反射による合計の位相のずれは $\pi$ となりますので，強め合いの条件は $m$ を $0$ 以上の整数として，

$$\sqrt{\bun{x^2}{R}\mskip 5mu}=\left(m+\mskip 4mu\bun12\right)\lambda$$

になります。

一方，弱め合いの条件は，

$$\sqrt{\bun{x^2}{R}\mskip 5mu}=m\lambda$$

ですので，これらを $x$ について整理すると，

$$\begin{aligned}\stext{強め合いの条件：\ }&x=\sqrt{\left(m+\mskip 4mu\bun12\right)R\lambda}\\\stext{弱め合いの条件：\ }&x=\sqrt{mR\lambda}\end{aligned}$$

が得られます。

つまり，「円の中心から $x=\sqrt{\left(m+\mskip 4mu\bun12\right)R\lambda}$ だけ離れた位置は明るく，$x=\sqrt{mR\lambda}$ だけ離れた位置は暗くなる」ということですが，これらはいずれも円を表しているため，同心円状に広がる干渉縞が観察されることになります。

この干渉縞は，ニュートンリングと呼ばれています。

ニュートンリングの特徴

明環と暗環

強め合い・弱め合いの条件式に，具体的な $m$ の値を代入していくと，明環や暗環の半径が求まります。

$n$ 番目の明環の半径を $r_n$，暗環の半径を $r_n\prime $ とすると，

$$\begin{aligned}\stext{明環：\ }&r_1=\sqrt{0.5R\lambda},\ r_2=\sqrt{1.5R\lambda},\ r_3=\sqrt{2.5R\lambda},\ \ldots\\\stext{暗環：\ }&r_1\prime =\sqrt{R\lambda},\ r_2\prime =\sqrt{2R\lambda},\ r_3\prime =\sqrt{3R\lambda},\ \ldots\end{aligned}$$

であることがわかりますね。

グラフを用いて

これらの半径の値を視覚的にわかりやすくするために，$y=\sqrt{R\lambda\cdot x}$ のグラフを考えてみましょう。

$x=0.5,\,1,\,1.5,\,2,\,\ldots$ に対応する $y$ が，$r_1,\,r_1\prime ,\,r_2,\,r_2\prime ,\,\dots$ となっていますね。

このグラフから，中心から離れるにつれ，明環・暗環の間隔が狭くなることがわかります。

リングの様子

さらに，リングの中心 $x=0$ は，$m=0$ の弱め合いの条件を満たすことを踏まえると，ニュートンリングの様子が次図の通りであることがわかります。