$\gdef\bun#1#2{\dfrac{#1}{#2}}$ $\gdef\Bun#1#2{\bun{#1}{#2}}$ $\gdef\punit#1{\ [\mathrm{#1}]\,}$ $\gdef{\d}{\mathop{d}{}}$ $\gdef\dx{dx}$ $\gdef\dy{dy}$ $\gdef\dt{dt}$ $\gdef\dv{dv}$ $\gdef\dr{dr}$ $\gdef\dV{dV}$ $\gdef\dP{dP}$ $\gdef\dT{dT}$ $\gdef\dU{dU}$ $\gdef\dI{dI}$ $\gdef\boldrm#1{\mathrm{#1}}$ $\gdef\rmA{\boldrm{A}}$ $\gdef\rmB{\boldrm{B}}$ $\gdef\rmC{\boldrm{C}}$ $\gdef\rmD{\boldrm{D}}$ $\gdef\rmE{\boldrm{E}}$ $\gdef\rmF{\boldrm{F}}$ $\gdef\rmG{\boldrm{G}}$ $\gdef\rmH{\boldrm{H}}$ $\gdef\rmI{\boldrm{I}}$ $\gdef\rmJ{\boldrm{J}}$ $\gdef\rmK{\boldrm{K}}$ $\gdef\rmL{\boldrm{L}}$ $\gdef\rmM{\boldrm{M}}$ $\gdef\rmN{\boldrm{N}}$ $\gdef\rmO{\boldrm{O}}$ $\gdef\rmP{\boldrm{P}}$ $\gdef\rmQ{\boldrm{Q}}$ $\gdef\rmR{\boldrm{R}}$ $\gdef\rmS{\boldrm{S}}$ $\gdef\rmT{\boldrm{T}}$ $\gdef\rmU{\boldrm{U}}$ $\gdef\rmV{\boldrm{V}}$ $\gdef\rmW{\boldrm{W}}$ $\gdef\rmX{\boldrm{X}}$ $\gdef\rmY{\boldrm{Y}}$ $\gdef\rmZ{\boldrm{Z}}$ $\gdef\Deg{^{\circ}}\!$ $\gdef\DegC{\,{}^{\scriptsize\circ\!}\rmC}$ $\gdef\punitDegC{\punit{{}^{\scriptsize\circ\!}\rmC}}$ $\gdef\neareq{\fallingdotseq}$ $\gdef\mss{\punit{m/s^2\,}}$ $\gdef\ms{\punit{m/s}}$ $\gdef\s{\punit{s}}$ $\gdef\m{\punit{m}}$ $\gdef\mm{\punit{m^2}}$ $\gdef\mmm{\punit{m^3}}$ $\gdef\rad{\punit{rad}}$ $\gdef\N{\punit{N}}$ $\gdef\J{\punit{J}}$ $\gdef\cal{\punit{cal}}$ $\gdef\W{\punit{W}}$ $\gdef\g{\punit{g}}$ $\gdef\kg{\punit{kg}}$ $\gdef\K{\punit{K}}$ $\gdef\Hz{\punit{Hz}}$ $\gdef\C{\punit{C}}$ $\gdef\A{\punit{A}}$ $\gdef\V{\punit{V}}$ $\gdef\mol{\punit{mol}}$ $\gdef\NA{N_{\rmA}}$ $\gdef\CV{C_{\rmV}}$ $\gdef\CP{C_{\rmP}}$ $\gdef\Pa{\punit{Pa}}$ $\gdef\SUB#1{_{\mathrm{#1}}}$ $\gdef\vec#1{\overrightarrow{#1}}$ $\gdef\dvec#1{\overrightarrow{#1}}$ $\gdef\stext#1{\text{\small #1}}$ $\gdef\sinh{\sin\theta}$ $\gdef\sinx{\sin x}$ $\gdef\siny{\sin y}$ $\gdef\cosh{\cos\theta}$ $\gdef\cosx{\cos x}$ $\gdef\cosy{\cos y}$ $\gdef\tanh{\tan\theta}$ $\gdef\tanx{\tan x}$ $\gdef\tany{\tan y}$ $\gdef\in{^{\,\mathrm{in}}}$ $\gdef\out{^{\,\mathrm{out}}}$ $\gdef\net{^{\,\mathrm{net}}}$ $\gdef\max{_{\mathrm{max}}}$ $\gdef\min{_{\mathrm{min}}}$

三角関数 数学

三角比の基本公式

羽白 いむ

東京大学医学部医学科卒 現役医師
数学のトリセツ共著者
東大指導専門塾鉄緑会 物理・数学科元講師

公式の紹介

3つの基本公式

同じ角 $\theta$ についての三角比 $\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta$ の間には，常に成り立つ次の関係式があります。

以下の3公式は非常に重要なので，絶対に覚えてください！

三角比の基本公式

同じ角 $\theta$ について，常に以下の式が成り立つ。

$$\begin{aligned}\stext{①}&\ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\\\stext{②}&\tan\theta=\Bun{\sin\theta}{\cos\theta}\\\stext{③}&\tan^2\theta+1=\bun{1}{\cos^2\theta}\end{aligned}$$

導出

②の式は，そもそもの定義である

$$\sin\theta=\Bun{y}{r},\ \cos\theta=\bun{x}{r},\ \tan\theta=\bun{y}{x}$$から速やかに得られます。

①の式は，上の定義に加え，

$$x^2+y^2=r^2$$が成立することを踏まえると導けますね。③の式は，①と②のを組み合わせると得ることができます。

式が意味するもの

羽白

今回紹介した3つの式が何を意味しているかわかりますか…？

$\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta$ のうち，1つがわかれば残り2つを計算できるということです。

たとえば，$\sin\theta=\Bun23$ のとき，$\cos\theta$ の値を求めるとします。もし，$\theta$ の値が求められるのであれば，$\cos\theta$ を求めることもできるかもしれませんが，先に触れたように，有名角（$30\Deg,\ 45\Deg,\ 60\Deg$ など）でなければ基本的には三角比を求めることはできません。

しかし，上記の公式があれば，$\theta$ を経由することなく，他の三角比を求めることができるわけです。

$$\left(\Bun23\right)^2+\cos^2\theta=1$$が成り立つことから，

$$\cos\theta=\bun{\sqrt{5}}{3}$$であることがわかりますね。

-三角関数, 数学