コンデンサーと交流回路
具体的な回路で
コンデンサーについても，交流回路での振る舞いを考えていきましょう。
次の図のように，瞬時値が $V=V_0\sin\omega t$ で表される交流電圧を，電気容量が $C$ のコンデンサーにかけた状況を考えます。
キルヒホッフの第二法則は，
$$V_0\sin\omega t=\mskip 4mu\bun{Q}{C}\mskip 5mu$$ですね。
連続方程式から，$I=\mskip 4mu\bun{\dQ}{\dt}\mskip 5mu$ が成立するので，これに $Q=CV_0\sin\omega t$ を代入することで，
$$I=CV_0\cdot\mskip 6mu\bun{\d}{\dt}\mskip 5mu\left(\sin\omega t\right)$$が得られます。
$\bun{\d}{\dt}\mskip 5mu\left(\sin\omega t\right)=\omega \cos\omega t$ ですので，
$$I=\omega CV_0\cos\omega t$$として電流の瞬時値 $I$ を求めることができます。
式の整理
$\cos\omega t=\sin\left(\omega t +\mskip 4mu\bun{\pi}{2}\mskip 5mu\right)$ ですので，
$$I=\mskip 4mu\bun{V_0}{1/\omega C}\mskip 5mu\sin\left(\omega t +\mskip 4mu\bun{\pi}{2}\mskip 5mu\right)$$と整理できますね。
コンデンサーにかかる電圧と電流の関係
やはりわけて考える！
やはり「最大値同士の関係」と「位相同士の関係」をわけて考えるのがポイントです。
$V=V_0\sin\omega t$ の電圧がかかっているときに流れる電流が $I=\mskip 4mu\bun{V_0}{1/\omega C}\mskip 5mu\sin\left(\omega t +\mskip 4mu\bun{\pi}{2}\mskip 5mu\right)$ から，整理して考えていきましょう。
最大値同士の関係
電圧の最大値が $V_0$ のとき，電流の最大値は $I_0=\mskip 4mu\bun{V_0}{1/\omega C}\mskip 5mu$ でした。
これを整理すると，$V_0=\mskip 4mu\bun{1}{\omega C}\mskip 5muI_0$ という形になります。この形から，「コンデンサーの抵抗値 $R$ に相当するもの」が，$\Bun{1}{\omega C}\mskip 5mu$ であることがわかりますね。
この「コンデンサーの抵抗値に相当する値」を 容量リアクタンス と呼びます。この容量リアクタンスを用いることで，最大値同士の間に「オームの法則の形」が成り立ちます。
位相の関係
電圧の瞬時値の位相が $\omega t$ のとき，電流の瞬時値の位相は $\omega t+\mskip 4mu\bun{\pi}{2}\mskip 5mu$ でした。
これより，電流の位相は電圧の位相より $\Bun{\pi}{2}\mskip 5mu$ だけ進むことがわかります。
電流が先，電圧が遅れる，です！！コイルの逆ですね！
コンデンサーの電流と電圧の関係
コンデンサーの容量リアクタンスは $\bun{1}{\omega C}\mskip 5mu$ である。最大値についてはこのリアクタンスを用いて，オームの法則の形で考える。$V_0=\mskip 4mu\bun{1}{\omega C}\mskip 5muI_0$ が成立する。
位相については，電流の位相が電圧の位相よりも $\Bun{\pi}{2}\mskip 5mu$ だけ進む。
例題
電気容量が $C$ のコンデンサーに，瞬時値が $I(t)=I_0\sin\omega t$ で表される電流が流れている。以下の問いに答えよ。
このコンデンサーにかかる電圧の瞬時値 $V(t)$ を求めよ。
このコンデンサーにおける消費電力の時間平均 $\overline{P}$ を求めよ。
最大値については，オームの法則の形から考える。コンデンサーの容量リアクタンスは $\Bun{1}{\omega C}\mskip 5mu$ なので，$V_0=\mskip 4mu\bun{1}{\omega C}\mskip 5muI_0$ として求めることができる。
電圧の位相は電流の位相よりも $\Bun{\pi}{2}\mskip 5mu$ だけ遅れる。電流の位相が $\omega t$ であるため，電圧の位相は $\omega t-\mskip 6mu\bun{\pi}{2}\mskip 5mu$ である。
以上から，
$$V(t)=\mskip 4mu\bun{I_0}{\omega C}\mskip 5mu\sin\left(\omega t-\mskip 6mu\bun{\pi}{2}\mskip 5mu\right)$$
$V(t)=\mskip 4mu\bun{I_0}{\omega C}\mskip 5mu\cos\omega t$ と整理できるので，時刻 $t$ における消費電力は，
$$P=V(t)I(t)=\mskip 4mu\bun{I_0\!^2}{\omega C}\mskip 5mu\sin\omega t\cos\omega t$$である。
ここで，$\sin\omega t\cos\omega t=\mskip 4mu\bun{\sin2\omega t}{2}\mskip 5mu$ の時間平均は $0$ となるので，
$$\overline{P}=\mskip 4mu\bun{I_0\!^2}{\omega C}\mskip 5mu\overline{\sin\omega t\cos\omega t}=0$$
消費電力
コイルと同様，コンデンサーの消費電力の時間平均も $0$ です。
このこともしっかりと覚えておきましょう！
コンデンサーにおける消費電力
交流回路における，コンデンサーにおける消費電力の時間平均は $0$ となる。
