はじめに
難しそうだけど
交流回路の単元は，苦手意識を持つ受験生が非常に多いです。
確かに一見すると難しそうなことをやっていそうなのですが，わかってしまえばなんてことない単元です…！
出題される内容もある程度パターン化されるため，基本をしっかりと理解して，オーソドックスな問題を確実に得点できるようにしておくことが重要です。
そうすれば得点源となって周囲と差をつけることができるはず…！！
いよいよ電磁気学の最後の山場ですが，気を引き締めて頑張りましょう！
交流の発生
どのようにして…
物理基礎で，向きや大きさが $\sin$ カーブに示すように周期的に変わる電圧を交流電圧と呼ぶことを学習しました。
このような電圧はどのようにしたら発生させることができるでしょうか…？
実は「電磁誘導」の現象をうまく使うことで実現できるのです！その方法を説明していきます。
長方形の導線
図のように，下から上向きに磁場がかけられた空間で，長方形の形をした導線を太い点線を軸に回転させてみましょう。
水平からの傾きを $\theta$ とします。回転の角速度 $\omega$ が一定で，時刻 $t=0$ で $\theta=0$ であるものとすれば，等速円運動の場合と同様に $\theta=\omega t$ が成立します。
導線の端を $\rmA$ 点，$\rmB$ 点として，この2点間に生じる電圧を求めます。
電圧の求め方
導体棒が動いている状況では，導体棒に誘導起電力が生じるのでした。その大きさは，「導体棒が単位時間に横切る磁束」から考えることができます。
今回の状況では，導線の $\mathrm{b-c}$ 間，$\mathrm{a-d}$ 間の部分は回転しても磁場を横切りません。それゆえ，生じる誘導起電力の大きさも $0$ になります。
一方で，導線の $\mathrm{a-b}$ 間，$\mathrm{c-d}$ 間の部分は回転することによって磁場を横切るため誘導起電力が生じます。これを具体的に求めていきましょう。
具体的な計算手順
状況をわかりやすくするために，$\rmA$ 点，$\rmB$ 点側からループをみた図で考えます。
導線の速度 $v$，磁束密度 $B$，導線の長さ $l$ の状況で，棒に生じる誘導起電力の大きさは $lvB$ でしたね。
ただし…！！
今回は磁束密度 $B$ をそのまま使わないように気をつける必要があります。
導体棒の速度と直交する方向成分を取り出さないといけないですね。
図から，$B\sin\theta$ だとわかりますので，誘導起電力の大きさは $V_1=lvB\sin\theta$ として計算できます。
$\theta=\omega t$，$v=r\omega$ ですので，$V_1=lr\omega B\sin\omega t$ となりますね。
誘導起電力の向き
最後に誘導起電力の向きについて考えましょう。導線の $\mathrm{a-b}$ 間の部分に乗っかっている正の電荷が受けるローレンツ力の向きを考えれば ok です。
フレミングの左手の法則から，$\mathrm{a}\to\mathrm{b}$ 向きであることがわかりますね。
同様に，導線の $\mathrm{c-d}$ 間は $\mathrm{c}\to\mathrm{d}$ 向きとして求めることができます。
誘導起電力の整理
よって，ループを上から見たときの回路の状況は次図の通りに整理できます。
以上から，$\rmB$ 側を高電位として，$V=2V_1=2lr\omega B\sin\omega t$ の誘導起電力が生じるという結論が得られます。
$V$ が時間変化に対して $\sin$ カーブに示されるような周期的な変化をすることがわかりますね…！
瞬時値
交流電圧 $V$ は，時刻 $t$ の関数となっていて，周期的な時間変化をすることがわかりました。
時刻 $t$ におけるその瞬間の電圧を表す値である，
$$V(t)=2lr\omega B\sin\omega t$$のことを，電圧の 瞬時値 と呼びます。
磁束の変化率を直接求める方法
大変でしたよね！！
導体棒の動きに注目して誘導起電力を求めましたが，だいぶ複雑じゃなかったですか…？
大変でしたよね…？難しかったですよね…？
実はもっともっとシンプルに求める方法があります。
シンプルな方法
「ループの $\varPhi$ を符号付きで求めて，$V=-\mskip 6mu\bun{d\varPhi}{\dt}\mskip 5mu$ を計算する方法」です。実際に確認してみましょう。
ループを真上から見た図で考えます。
時刻 $t=0$ において磁場は紙面奥から手前向きになりますので（上図の通り），この向きを磁束の正の向きとしましょう。
この磁束の正の向きに対して，右ねじの法則で誘導起電力の正の向きを定めると，図のように $\rmB$ 側が高電位となる向きになります。
磁束の計算
では，ループの磁束 $\varPhi$ を実際に求めましょう。
時刻 $t$ において，ループと磁場のなす角度は $\theta=\omega t$ ですので，ループの面積を $S$ とすると $\varPhi=SB\cos\theta=SB\cos\omega t$ ですね。
ループの面積は $S=2lr$ なので，$\varPhi=2lrB\cos\omega t$ と整理できます。
誘導起電力の計算
あとは計算するだけ！
$$V=-\mskip 6mu\bun{d\varPhi}{\dt}\mskip 5mu=2lr\omega B\sin\omega t$$として $V$ を求めることができます。
あっという間ですね！
