コンデンサーの合成

コンデンサーの合成

合成について

物理基礎で抵抗の合成について学習しました。コンデンサーについても，合成して考えると便利なことがあるため，その方法について確認していきます。

直列につながれているとき

充電して考える

図のように，電気容量が $C_1,\,C_2$ のコンデンサーが直列に接続されている状況を考えます。

これらのコンデンサーに起電力が $V$ の電池を繋いで充電して充電します。

独立している部分の電荷保存則を踏まえると，各コンデンサーに充電される電気量は共通であることがわかりますね。これを $Q$ としましょう。

キルヒホッフの第二法則から，

$$\bun{Q}{C_1}\mskip 5mu+\mskip 4mu\bun{Q}{C_2}\mskip 5mu=V\qquad\therefore \quad Q=\mskip 4mu\bun{C_1C_2}{C_1+C_2}\mskip 5muV\stext{\quad……\ ①}$$

が得られます。

合成！

この2つのコンデンサーを，1つのコンデンサーに合成します。

合成したコンデンサーの電気容量である合成容量を $C$ とします。

このとき，図の回路におけるキルヒホッフの第二法則より，

$$Q=CV\stext{\quad……\ ②}$$

が成り立つことがわかります。

① と ② から，

$$C=\mskip 4mu\bun{C_1C_2}{C_1+C_2}\mskip 5mu\qquad\therefore \quad\mskip 6mu\bun{1}{C}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{1}{C_1}\mskip 5mu+\mskip 4mu\bun{1}{C_2}\mskip 5mu$$

が得られます。

3つ以上のコンデンサーがつながれている際にも，同様な逆数の足し算が成立します。

並列につながれているとき

考え方は同様！

続いて，電気容量が $C_1,\,C_2$ のコンデンサーが並列に接続されている状況を考えます。

各コンデンサーに蓄えられる電気量を $Q_1,\,Q_2$ とすると，回路図は次の通りに整理できます。

いずれのコンデンサーも電池に対して並列に繋がれているので，電圧は $V$ です。よって，

$$\begin{aligned}&\bun{Q_1}{C_1}\mskip 5mu=V,\ \bun{Q_2}{C_2}\mskip 5mu=V\\\therefore \quad &Q_1=C_1V,\ Q_2=C_2V\stext{\quad……\ ③}\end{aligned}$$

が成立します。

合成！

次図のようにコンデンサーを合成しましょう。

合成した回路でのキルヒホッフの第二法則より，

$$Q=CV\stext{\quad……\ ④}$$

が成り立ちますね。

また，コンデンサーを充電する際に電池の部分を通過した電荷は $Q_1+Q_2$ です。

合成した右図の回路で考えてもこのことは変わらないので，$Q=Q_1+Q_2$ が成り立ちますね。

この式に ③ と ④ を代入して整理すると，

$$CV=C_1V+C_2V\qquad\therefore \quad C=C_1+C_2$$

が得られます。

3つ以上のコンデンサーがつながれている際にも，同様な足し算が成立します。

抵抗のときは，「直列なら足し算，並列なら逆数の足し算」でした。コンデンサーは「直列なら逆数の足し算，並列なら足し算」です。