コンデンサー②

極板間引力

引力の求め方

コンデンサーの極板にはそれぞれ正の電荷，負の電荷が蓄えられているので，互いに引きつけあっているはずですよね。

この力のことを 極板間引力 と呼びます。

極板間引力は静電気力の1種ですので，$F = qE$ の式から大きさを求めることができるはずです。

極板上の電荷 $+Q$，極板間の電場 $E$ は求めることができますので，$F = QE$ ですね…！

この時点で「いやいやそれは嘘でしょ！」と気付けている人は素晴らしい！

さっぱりな人は一度ここで立ち止まって考えてみてください。

極板間の電場に注目

電気力線について考えた際に，「半分は $+Q$ の電荷由来，もう半分は $-Q$ の電荷由来という点をしっかりと頭に入れておいてください」という点を強調しましたよね。

極板間の電場の強さは確かに $E$ なのですが，そのうち半分の $\Bun12E$ は「$+Q$ の電荷（つまり自分自身！）が作っている電場」なのです。

$+Q$ の電荷が受ける力を考えたいわけですから，相手（$-Q$ の電荷）が作る電場のみを考えればよいですよね。

引力の正しい計算

ということで，「電荷 $Q$ が強さ $\Bun12 E$ の電場から受ける力」を考えればよいので，
$$F=\mskip 4mu\bun12QE$$が正しい極板間引力の大きさです！

$E$ が極板間距離 $d$ に依存しないため，極板間引力も $d$ に依存しません！

静電エネルギー

コンデンサーのエネルギー

充電したコンデンサーを抵抗につなぐと，蓄えていた電荷を電流として流すことができます（放電）。

抵抗に電流が流れば，ジュール熱（つまり熱エネルギー）が発生するわけですから，充電されたコンデンサーは「エネルギーを蓄えている」と考えることができます。

このエネルギーは 静電エネルギー と呼ばれています。

充電された電気量を $Q$，電圧を $V$，電気容量を $C$ とすれば，静電エネルギー $U$ は，
$$U=\mskip 4mu\bun12CV^2=\mskip 4mu\bun{Q^2}{2C}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun12QV$$として表されます。

暗記は不要！

どれか1つを覚えておけば，$Q = CV$ の関係式を使って他の2つを導くことができます。

よってひとまず，$\Bun12 CV^2$ の形を覚えてください！

他の2つは現時点で無理に覚える必要はないですが，どれも使用頻度は高いので学習を進めていく中で自然と覚えるのが理想です。

一見すると回路の問題ですが，コンデンサーの基本事項を利用していけばスムーズに解ける内容になっています。

「スイッチの開閉」もポイントとなりますので，こちらについてもしっかりと確認しましょう。

(1) の解き方

コンデンサーにかかる電圧は $V$ です。よって，$Q_0=CV$ であることがすぐにわかりますね。

静電エネルギーについても，公式を用いて $U_0=\mskip 4mu\bun12CV^2$ でokです。

(2) の解き方

スイッチを開いているので，スイッチの部分を電荷が通過できなくなります。

すると，導線を伝って電荷が移動できなくなりますので，極板上の電荷が固定されます。$Q_0$ のまま変化しません。

「コンデンサーの間の部分を直接伝って電荷が移動する」という間違いが散見されますが，そんなことは起こりません！

コンデンサーの極板間の部分は真空であり，電荷が移動できないことはしっかりと押さえてください。とっても大切です。

一方で，極板間距離 $d$ が2倍になったことで，電気容量 $C$ は半分になります。

$C=\varepsilon_0\mskip 6mu\bun{S}{d}\mskip 5mu$ なので考えればすぐにわかりますが，極板間距離を変化させた際に電気容量がどのように変わるかは暗算ですぐに求められるようにしておくべきでしょう。

$Q$ と $C$ の変化がわかりましたので，$U=\mskip 4mu\bun{Q^2}{2C}\mskip 5mu$ の形から静電エネルギーの変化を求めましょう。

$Q$ が不変，$C$ が $\bun12$ 倍なので，$U$ は 2倍になることがわかります。よって，
$$U_1=CV^2$$が答えです。

(3) の解き方

スイッチを閉じたまま操作しているので，電池が繋がれたままです。よって，コンデンサーにかかる電圧が $V$ のまま変化しません。

一方で，導線を伝って電荷は流れるため，蓄えられている電荷 $Q$ は変化します。

回路の状況は変わっていますが，極板間隔を2倍にしている点は ② と同じです。よって，電気容量は $\bun12$ 倍です。

$C=\varepsilon_0\mskip 6mu\bun{S}{d}\mskip 5mu$ の形からもわかるように，コンデンサーの電気容量は，コンデンサーの見た目（形）のみで決まることは必ず覚えておいてください。

$V$ と $C$ の変化がわかりましたので，$U=\mskip 4mu\bun12CV^2$ の形から静電エネルギーの変化を求めましょう。$V$ が不変，$C$ が $\bun12$ 倍なので，
$$U_2=\mskip 4mu\bun14CV^2$$が答えです。

電荷の流れについて

(2) で電荷の流れの話をしたので，問題でも簡単に確認しておきましょう。