ガウスの法則をより丁寧に
より正確な話
$+Q$ の電荷から $4\pi kQ$ 本の電気力線が湧き出る，というガウスの法則を学習しました。
こちらのガウスの法則をより正確に表現すると以下の通りになります。
ガウスの法則（より正確に）
任意の閉曲面を貫く電気力線の本数は，閉曲面内に存在する総電荷量 $Q$ を用いて $4\pi kQ$ と表される。
「任意の閉曲面って何…??」となった人が大半だと思います。
閉曲面とは「閉じた曲面」ですので，円柱でも球でも何でも ok です。
具体例を通して学習した方がわかりやすいのですが，ひとまず「ガウスの法則を使って電気力線を考えるときは，球面のように対称性のよい面を自分で作って考える！」という雰囲気を掴んでください。
ガウスの法則と導体
金属球の例
半径 $R$ の金属球に $+Q$ の電荷を与えたとしましょう。
このとき，金属球の中心からの距離が $r$ の位置の電場の強さ $E(r)$ を求めてみます。
まずは電荷の分布について。導体は内部に電荷が存在できないため，$+Q$ の電荷は金属表面のみに均等に分布します。
つまり，$r=R$ の位置のみに電荷が存在するわけです。
この $r=R$ の内側と外側で場合分けをしてガウスの法則を考えていきます。
「対称的な球面を自分で作って，その内部の電荷を考える」と方針がポイントです。
$r<R$ について
半径が $r$ の球面を作って考えます。電荷は $r=R$ の位置のみに分布するので，この球面の内部に含まれる総電荷は $0$ です。
よって，球面を貫いていく電気力線の本数は $0$ 本ですので，球面上の電場は $0$ です。
これより，$E(r)=0$ であることがわかります。
$R<r$ について
同様に，半径が $r$ の球面を作ります。$R<r$ なので，$r=R$ の位置にある $+Q$ の電荷がすべて球面内に含まれることになりますね。
よって，この球面を貫く電気力線の総数は $4\pi kQ$ 本です。
$r$ の位置の電場の強さ $E(r)$ は，その位置の単位面積あたりの電気力線の本数でもあります。
球面の合計の面積は $4\pi r^2$ ですので，球面を貫く合計の電気力線は $E(r)\times 4\pi r^2$ と表すことができます。
結論
以上から，
$$ E(r) \times 4\pi r^2 = 4\pi kQ $$と立式できますね。これを整理することで，
$$ E(r) = k\mskip 6mu\bun{Q}{r^2}\mskip 5mu $$であることがわかります。
点電荷との比較
「点電荷の場合と同じだ！」と気づきましたか…？
ガウスの法則における立式時に考えるのは「閉曲面の内部の合計電荷」です。
それが点電荷であろうが（中心にまとまって存在していようが），今回のように $r=R$ の位置にあろうが，合計の電荷が同じであれば同じ立式になるのです。
重要なので繰り返します！
重要なのは「考えている曲面（球面）の内側の合計電荷」です！どこにあるかは関係ありません！内側に合計でどれだけ電荷があるか，に注目するのがポイントです。
立式手順のまとめ
立式の方法についてもまとめておきましょう。$R<r$ の場合と同じように考えることで，以下の通りに立式するとスムーズです。
$$\stext{\hspace{-.5em}（電場の強さ）} \times \stext{\hspace{-.5em}（閉曲面の面積）} = 4\pi kQ\ \left(=\mskip 4mu\bun{Q}{\varepsilon_0}\mskip 5mu\right)$$
ガウスの法則の立式手順
① 対称的な曲面（球など）を自分で作る。この際，電荷が存在する位置で場合分けする。
② 曲面の内部に存在する総電荷量 $Q$ を求める。
③ ガウスの法則として，
$$ \stext{\hspace{-.5em}（電場の強さ）} \times \stext{\hspace{-.5em}（閉曲面の面積）} = 4\pi kQ $$
と立式する。
例題
半径 $R$ の金属球に，$+Q$ の電荷を与えた。クーロン力の比例定数を $k$ として，以下の設問に答えよ。
球の中心 $\rmO$ から $r$ の位置における，電場の強さ $E(r)$ のグラフの概形をかけ。
位置 $r$ における電位 $V(r)$ を求め，グラフの概形をかけ。ただし，電位の基準は無限遠方に取るものとする。
(1) の解き方
$E(r)$ の求め方は先ほど説明した通りです。
$r<R$ では $E(r)=0$，$R<r$ では $E(r)=k\mskip 6mu\bun{Q}{r^2}\mskip 5mu$ でしたね。
$R<r$ の電場は点電荷周囲の電場と等しいため，グラフも等しくなることに注意すると次のような概形をかくことができます。
(2) の解き方
続いて電位について考えていきましょう。
こちらも点電荷の場合と比較しながら考えていくとわかりやすいです。
$R<r$ の領域では点電荷の場合と電場が共通でした。電場が同じということは，$R<r$ の領域における電位 $V(r)$ のグラフの傾きも同じです。グラフの傾きが同じということは，グラフの形も同じということですね。
また，無限遠方が基準となっている点も共通ですので，$R<r$ における電位のグラフも共通であることがわかります。
よって，$R<r$ では $V(r) = k\mskip 6mu\bun{Q}{r}\mskip 5mu$ です。
では，$r<R$ の領域はどうでしょうか…？
「金属の内部は等電位」という性質がありましたね。$r=R$ の位置の電位は $V(R) = k\mskip 6mu\bun{Q}{R}\mskip 5mu$ ですので，金属内部の電位はどの場所でもこの値です。
よって，$r<R$ においては常に $V(r) = k\mskip 6mu\bun{Q}{R}\mskip 5mu$ となることがわかります。
以上をまとめると，
$$ V(r) =\begin{cases}\ k\mskip 6mu\bun{Q}{R}\mskip 5mu & (r<R) \\[9pt] \ k\mskip 6mu\bun{Q}{r}\mskip 5mu & (R<r)\end{cases}$$であり，これを図示したグラフは次の通りになります。
