電気力線とガウスの法則

電気力線

領域全体の電場を知る方法

目に見えない電場を調べるために，単位電荷をおいて受ける力を調べるという方法を説明しました。

しかし，ある点ではなく，領域全体にどんな電場があるのかを知りたいこともあります。そんなときに役立つのが電気力線です。

この電気力線には，いくつかのルールがあります。順番に確認していきましょう。

湧き出し，吸収

正の電荷から湧き出し，負の電荷に吸収されます。

無限遠方以外の中途半端なところから生まれたり，途中で消えてなくなったりしません。

向きについて

接線の向きと電場の向きが等しくなります。

当然っちゃあ当然です。それゆえ電気力線は途中で折れ曲がったり，交わったりすることはありません。

本数のルール

電場に垂直な $1\mm$ の面を貫く電気力線の本数が，その場の電場の強さに等しくなります。

つまり，ある場所の電場の強さを知りたいときには，その場所に $1\mm$ の面積の面を作り，その面を貫く電気力線の本数を考えればよい，ということです。

言葉で説明されてもなかなか伝わらないと思いますので，例題を通じて実際の電気力線の様子を確認していきましょう。

例題

ガウスの法則

電気力線の本数

点電荷 $+Q$ から湧き出てきた電気力線は，放射状に広がっていきます。

これまで学習した内容を使って，$+Q$ の電荷から湧き出てくる電気力線の本数を求めてみましょう。

点電荷を利用して

電荷から $r$ だけ離れた位置にある $\rmP$ 点の位置に，単位面積（$1\mm$）の面を作ったとき，この面を貫いていく電気力線の本数は何本になるでしょうか…？

これは電気力線の性質の「03」にあった通り，その場の電場の大きさに等しくなるのでした。

では，$\rmP$ 点の電場の大きさはというと，その場に単位電荷をおいて考えるのでしたね。クーロンの法則から，単位電荷が受ける力の大きさが

$$f=k\mskip 6mu\bun{Q}{r^2}\mskip 5mu$$

であることがわかるため，$\rmP$ 点における電場の大きさも

$$E=k\mskip 6mu\bun{Q}{r^2}\mskip 5mu$$

です。

合計本数の計算

続いて，図に点線で示した半径 $r$ の球面を考えてみましょう。この球面を通過していく電気力線の本数は，点電荷 $+Q$ から湧き出てくる電気力線の本数に等しいはずです。

$\rmP$ 点の位置において，単位面積の面を通過していく電気力線の本数は $k\mskip 6mu\bun{Q}{r^2}\mskip 5mu$ 本です。

球全体の表面積は $4\pi r^2$ ですので，対称性を踏まえると，

$$k\mskip 6mu\bun{Q}{r^2}\mskip 5mu \cdot 4\pi r^2 = 4\pi kQ$$

の電気力線が球表面を通過していくことがわかります。

結論

「$+Q$ の電荷からは，$4\pi kQ$ 本の電気力線が湧き出る」ということです。これをガウスの法則と呼びます。

逆に，$-Q$ の電荷には $4\pi kQ$ 本の電気力線が吸い込まれます。

また，$\varepsilon_0=\mskip 4mu\bun{1}{4\pi k}\mskip 5mu$ という定数を用いると，

$$4\pi kQ = \frac{Q}{\varepsilon_0}$$

と書き換えることができます。

この定数 $\varepsilon_0$ は，真空の誘電率と呼ばれます。