電場の重ね合わせ

電場の重ね合わせ

複数の電場の扱い

複数の電荷による電場（$\vec{E_1},\,\vec{E_2},\,\vec{E_3},\,\ldots$）が存在するとき，これらを合成した電場はどのように考えられるでしょうか…？

この電荷が電場 $\vec{E_1}$ から受ける力は $\vec{E_1}$，電場 $\vec{E_2}$ から受ける力は $\vec{E_2}$，として考えることができます。

結局，電荷が受ける合力は，

$$\vec{f}=\vec{E_1}+\vec{E_2}+\vec{E_3}+\cdots$$

です。この合力 $\vec{f}$ が，その場所における実際の電場（合成電場）になりますので，

$$\vec{E}=\vec{E_1}+\vec{E_2}+\vec{E_3}+\cdots$$

と考えてokです。

つまり，電場の重ね合わせは，単純に足し算で考えてよい ことがわかります。

例題

(1) の解き方

電荷 $\rmA$ の作る電場を考えるので，いったん電荷 $\rmB$ のことは忘れます！

クーロンの法則から，力の大きさは，

$$f=k\mskip 6mu\bun{q\cdot1}{2^2}\mskip 5mu=k\mskip 6mu\bun{q}{4}\mskip 5mu$$

です。正の電荷同士で斥力となっていますので，この力の向きは $x$ 軸正の向きに一致します。

よって符号も含めて，

$$E_1=k\mskip 6mu\bun{q}{4}\mskip 5mu$$

が答えです。

(2) の解き方

続いて，$x=2$ の位置に電荷 $\rmB$ が作る電場 $E_2$ を求めましょう。

電荷同士の距離は $4-2=2$ ですので，クーロンの法則から，力の大きさは，

$$f=k\mskip 6mu\bun{|-4q\cdot1|}{2^2}\mskip 5mu=k\mskip 6mu\bun{4q}{4}\mskip 5mu=kq$$

と計算できます。

及ぼし合うのは引力なので，単位電荷が受ける力は $x$ 軸正の向きとなることから，符号も含めると

$$E_2=kq$$

ですね。

$E_1$ と $E_2$ を重ね合わせたものが $x=2$ の位置における電場 $E$ ですので，

$$E=E_1+E_2=k\mskip 6mu\bun{q}{4}\mskip 5mu+kq=k\mskip 6mu\bun{5q}{4}\mskip 5mu$$

と計算できます。また，$F=qE$ の関係式から，$q$ の電荷が受ける力は，

$$f=k\mskip 6mu\bun{5q}{4}\mskip 5mu\cdot q=k\mskip 6mu\bun{5q^2}{4}\mskip 5mu$$

です。

(3) の解き方

場所によって場合分けをして考えていきます。

$x>0$ の領域

単位電荷が受ける力を考えます。電荷 $\rmA$ からは斥力，電荷 $\rmB$ からは引力を受けます。

考えている位置は電荷 $\rmA$ からより遠い位置にあり，さらに電荷 $\rmA$ は電荷 $\rmB$ より大きさが小さい状況です。

この場合，必ず電荷 $\rmA$ が単位電荷に及ぼす力の大きさ $f_1$ よりも，電荷 $\rmB$ が単位電荷に及ぼす力の大きさ $f_2$ の方が大きくなります。

よって，足し合わせたときに $\vec{f}=0$ となることはありません。

$0<x<4$ の領域

単位電荷をおいてみます。

電荷 $\rmA$ からは斥力，電荷 $\rmB$ からは引力を受けますが，どちらも向きが $x$ 軸正の向きなので，足し合わせたときに $\vec{0}$ となることはありません。

$x<0$ の領域

単位電荷が電荷 $\rmA$ から受ける斥力は $x$ 軸負の向き，電荷 $\rmB$ から受ける引力は $x$ 軸正の向きになるので，足し合わせると $\vec{0}$ になる可能性がありますね。

単位電荷をおく位置を $x (<0)$ とすると，クーロンの法則から，

$$f_1=k\mskip 6mu\bun{q}{x^2}\mskip 5mu,\ f_2=k\mskip 6mu\bun{4q}{(4-x)^2}\mskip 5mu$$

であることがわかります。

$f_1=f_2$ であれば，足し合わせたときに $\vec{0}$ となるので，

$$f_1=f_2 \LLeftrightarrow x=-4$$

の位置における電場が $\vec{0}$ であることがわかります。

電場が $\vec{0}$ になる点の考え方

(3) の場合について，電場が $\vec{0}$ になる点を，より簡単に考えてみましょう。

クーロンの法則の形 $f = k\mskip 6mu\bun{\stext{\hspace{-.5em}（電荷の大きさ）}}{\stext{\hspace{-.5em}（電荷からの距離）}^2}$ から考えるとよりわかりやすいです。

$f_1 = f_2$ となるためには，2つの電荷 $\rmA$，$\rmB$ についてこの値が等しくなる必要があります。

分子の比は $q : 4q = 1 : 4$ なので，分母も $1 : 4$ でなければなりませんね。よって，

$$\stext{\hspace{-.5em}（電荷$\rmA$からの距離）}^2 : \stext{\hspace{-.5em}（電荷$\rmB$からの距離）}^2 = 1 : 4$$

が成立すればよいので，これを解くと，

$$\stext{\hspace{-.5em}（電荷$\rmA$からの距離）} : \stext{\hspace{-.5em}（電荷$\rmB$からの距離）} = 1 : 2$$

という条件が得られます。

この関係をもとに「$x<0$」の領域について考え直すと，$x=-4$ の位置が条件を満たす点となります。