反射によって生成される定在波
反射によって定在波ができる
物理基礎でも学習したように，壁によって正弦進行波が反射され，入射波と反射波が重ね合わさると，定在波ができます。
この定在波の作図の方法や，腹や節の位置を求める方法は物理基礎で学習しましたね。
今回はこの定在波を数式で表現する方法を考えていきましょう。
まず，入射波の式を
$$y_1(x,\,t)=A\sin2\pi\left(\bun{t}{T}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu\right)$$としましょう。合成波の式を考えるためには，これと反射波の式を足し合わせる必要がありますので，まずは反射波の式 $y_2(x,\,t)$ を求めていきます。
反射波の数式表現
透過波を用いて
目標
反射波の変位を表す式 $y_2(x,\,t)$ を求める。
$x$ 軸正の向きに進む正弦進行波が，$x=l$ の位置の壁によって反射している状況を考えていきましょう。まずはわかりやすいように自由端反射であるものとします。
反射波について考える際は透過波（壁がなかったとしたらその位置に進んでいたはずの波）を考えると便利でしたよね。
では，透過波の変位の式はどのように表されるでしょうか…？
図からもわかる通り，透過波は入射波をそのまま続けて描いた波形をしています。
壁の存在を無視して形だけ見れば，入射波そのものと捉えることができるので，透過波の変位を表す式は入射波と同じく $y_1(x,\,t)$ であることがわかります。
それでは，この透過波を利用して反射波の変位を表す式 $y_2(x,\,t)$ を求めていきましょう。
反射波の変位
反射波は透過波を壁に対してそのまま折り返したものになります。求めたい $y_2(x,\,t)$ は，反射波の位置 $x$ における変位であり，図で表すと次の通りです。
この変位と常に全く同じ変位となる場所を透過波で探しましょう。
壁は波をそのまま反射しているので「鏡」だと考えるとわかりやすいですね！
壁（鏡）に対して，対称的な位置を考えれば ok です。
つまり，「反射波の位置 $x$ における変位 $y_2(x,\,t)$（求めたいもの！）は，透過波の？の位置の変位と常に等しい」ことがいえますね！ということで，「？」の位置の座標を求めましょう。
位置 $x$ と壁の距離は $l-x$ ですので，この値を壁の位置 $x=l$ に足した位置が「？」ですね。よって，$l+(l-x)=2l-x$ が「？」の値であることがわかります。
$2l-x$ の位置の透過波の変位を表す式は，$y_1(2l-x,\,t)$ です。これが求めたいものと等しいわけですから，
$$y_2(x,\,t)=y_1(2l-x,\,t)=A\sin2\pi\left(\bun{t}{T}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{2l-x}{\lambda}\mskip 5mu\right)$$ですね！
無事，反射波の変位を表す式が求まったので，入射波と重ね合わせることで定在波の式を求めていきましょう。
定在波の変位の式の計算
和積公式を用いて
目標
定在波の変位を表す式 $y(x,\,t)$ を求める。
入射波の変位の式と反射波の変位の式を足せば定在波の変位の式になることはわかっていますので，あとは計算を頑張りましょう！
三角関数同士の足し算の部分では和積の公式を使います。
$$\begin{aligned}y(x,\,t)&=y_1(x,\,t)+y_2(x,\,t)\\&=A\sin2\pi\left(\bun{t}{T}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu\right)+A\sin2\pi\left(\bun{t}{T}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{2l-x}{\lambda}\mskip 5mu\right)\\&=2A\sin2\pi\left(\bun{t}{T}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{l}{\lambda}\mskip 5mu\right)\cos2\pi\left(\bun{l-x}{\lambda}\mskip 5mu\right)\end{aligned}$$が計算結果ですね。
やや複雑な形をしていますが，
$$y(x,\,t)=2A\cos2\pi\left(\bun{l-x}{\lambda}\mskip 5mu\right)\times\sin2\pi\left(\bun{t}{T}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{l}{\lambda}\mskip 5mu\right)\quad\stext{…☆}$$と整理できます。
なんとなく定在波になることは予想が付くかと思いますが，実際にどのような定在波になるのかを確認してみましょう。
(1) $x$ のみの関数
☆式の前半部分の $2A\cos2\pi\left(\bun{l-x}{\lambda}\mskip 5mu\right)$ について考えます。
この部分に含まれる変数は $x$ のみであることが重要です。
$x=l$ の位置（壁の位置）では，$2A\cos0=2A$ の値になりますね。同様に，壁から $\Bun{\lambda}{8}\mskip 5mu,\,\Bun{\lambda}{4}\mskip 5mu,\,\Bun{3\lambda}{8}\mskip 5mu,\,\Bun{\lambda}{2}\mskip 5mu,\,\Bun{5\lambda}{8}\mskip 5mu,\,\Bun{3\lambda}{4}\mskip 5mu,\,\Bun{7\lambda}{8}\mskip 5mu,\,\lambda,\,\ldots$ だけ離れた位置について計算してみましょう。それぞれの位置の $x$ 座標は，
$$x=l-\mskip 6mu\bun{\lambda}{8}\mskip 5mu,\,l-\mskip 6mu\bun{\lambda}{4}\mskip 5mu,\,l-\mskip 6mu\bun{3\lambda}{8}\mskip 5mu,\,l-\mskip 6mu\bun{\lambda}{2}\mskip 5mu,\,l-\mskip 6mu\bun{5\lambda}{8}\mskip 5mu,\,l-\mskip 6mu\bun{3\lambda}{4}\mskip 5mu,\,l-\mskip 6mu\bun{7\lambda}{8}\mskip 5mu,\,l-\lambda,\,\ldots$$
ですので，これを $2A\cos2\pi\left(\bun{l-x}{\lambda}\mskip 5mu\right)$ に代入して計算すると，
$$y=\sqrt2A,\,0,\,-\sqrt2A,\,-2A,\,-\sqrt2A,\,0,\,\sqrt2A,\,2A,\,\ldots$$
が得られます。
これらの結果を踏まえると，この式が表す $\sin$ カーブのグラフが次のとおりであることがわかります。
(2) $t$ のみの関数
続いて，☆式の後半部分である $\sin2\pi\left(\bun{t}{T}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{l}{\lambda}\mskip 5mu\right)$ について考えます。
この部分に含まれる変数は $t$ のみです！
(1) によって決まったこの形に，時刻によって値が変化する $-1$ から $1$ の値を取る (2) をかけることで，この形が時間変化して定在波になりますね。壁の位置が腹になっていて，そこから腹と節が交互に並んでいることが確認できます。
こうして無事，$y(x,\,t)$ を求め，それが定在波を確かに表していることが確認できました！
式自体はどれも一切暗記不要です。
計算手順と，式の解釈の仕方を説明できるようになるまでしっかりと復習しておいてください。
例題
$x$ 軸上を正の向きに進む波長 $\lambda$ の正弦進行波が，$x=l$ の位置の壁で反射している。この正弦波の原点 $\rmO$ における時刻 $t$ での変位は，$y_1(0,\,t)=A\sin2\pi\mskip 6mu\bun{t}{T}\mskip 5mu$ で表される。壁における反射は固定端反射であるものとして，以下の問いに答えよ。
位置 $x\,(0<x<l)$ での時刻 $t$ における，入射波の変位 $y_1(x,\,t)$ を求めよ。
位置 $x\,(0<x<l)$ での時刻 $t$ における，反射波の変位 $y_2(x,\,t)$ を求めよ。
入射波と反射波の合成波の，位置 $x\,(0<x<l)$ での時刻における，反射波の変位 $y(x,\,t)$ を求めよ。
定在波の節の位置を $0$ 以上の整数 $n$ を用いて表わせ。
入射波の位置 $x$ における時刻 $t$ での変位は，時刻 $t-\mskip 6mu\bun{x}{v}\mskip 5mu$ における原点での変位に等しいので，
$$\begin{aligned}y_1(x,\,t)&=y_1\left(0,\,t-\mskip 6mu\bun{x}{v}\mskip 5mu\right)\\&=A\sin2\pi\left(\bun{t}{T}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu\right)\end{aligned}$$
位置 $x$ における反射波の変位 $y_2(x,\,t)$ は，位置 $2l-x$ における透過波の変位の $-1$ 倍に等しいので，
$$\begin{aligned}y_2(x,\,t)&=-y_1(2l-x,\,t)\\&=-A\sin2\pi\left(\bun{t}{T}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{2l-x}{\lambda}\mskip 5mu\right)\end{aligned}$$
重ね合わせの原理より，入射波と反射波の変位の和を考えて，
$$\begin{aligned}y(x,\,t)&=y_1(x,\,t)+y_2(x,\,t)\\&=A\sin2\pi\left(\bun{t}{T}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{x}{\lambda}\mskip 5mu\right)-A\sin2\pi\left(\bun{t}{T}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{2l-x}{\lambda}\mskip 5mu\right)\\&=2A\sin2\pi\cdot\mskip 6mu\bun{l-x}{\lambda}\mskip 5mu\cos2\pi\left(\bun{t}{T}\mskip 5mu-\mskip 6mu\bun{l}{\lambda}\mskip 5mu\right)\end{aligned}$$
時刻 $t$ によらず常に $y(x,\,t)=0$ となる位置が定在波の節となる。よって，
$$\sin2\pi\cdot\mskip 6mu\bun{l-x}{\lambda}\mskip 5mu=0$$を満たす位置 $x$ を考える。
$2\pi\cdot\mskip 6mu\bun{l-x}{\lambda}\mskip 5mu=0,\,\pi,\,2\pi,\,\ldots =n\pi$ が成立すればよいので，
$$x=l-\mskip 6mu\bun{n\lambda}{2}\mskip 5mu$$
(4) については，「固定端反射なんだから壁の位置 $x=l$ は節！そこから $\bun{\lambda}{2}\mskip 5mu$ 戻るごとに節になるから，求める節の位置は $x=l-\mskip 6mu\bun{n}{2}\mskip 5mu\lambda$」と考えれば一瞬ですね。
試験中に頭が真っ白になって(1)すら解けなくても，(4)は一瞬で答えが出せるわけです！
こちらの方法がいかに有用か実感できるかと思います！
