回路①

物理基礎の範囲での回路

先ほどのセクションでキルヒホッフの法則について説明しましたが，本来は範囲外の内容です。

ここでは，キルヒホッフの法則をいったん忘れて，オームの法則を用いながら直列回路，並列回路について確認をしていきましょう。

本セクションの最後に，物理基礎の範囲で問題を解く場合と，キルヒホッフの法則を使って問題を解く場合を比較しながら確認していきます。

直列回路

次図のように，抵抗値がそれぞれ $R_1,\,R_2$ の2つの抵抗 $\rmR_1,\,\rmR_2$ がつながれた回路を考えてみます。

回路に接続されている電池の起電力を $V$，回路に流れる電流を $I$ とします。

直列につながれている抵抗は流れる電流が等しくなることが知られています。

この回路を流れる電流は，いずれも $I$ ということになりますね。

各抵抗にかかる電圧 $V_1,\,V_2$ は，オームの法則 $V=RI$ を用いて求めましょう。

抵抗 $\rmR_1$ の抵抗値は $R_1$，流れる電流は $I$ ですので，かかる電圧は $V_1=R_1I$ として求めることができます。

同様に考えて，抵抗 $\rmR_2$ にかかる電圧は $V_2=R_2I$ です。

オームの法則を用いるときの $V$ は，電池の電圧ではなく，オームの法則を考えている各抵抗の電圧であることに気をつけて下さい。$R$ はその抵抗の抵抗値，$I$ はその抵抗に流れている電流です。

以上をまとめると右のような回路図が完成します。

各抵抗にかかる電圧 $V_1,\,V_2$ の和は電池の起電力 $V$ と等しくなるので（これがキルヒホッフの第二法則），

$$V=V_1+V_2=R_1I+R_2I\stext{\quad……\ ①}$$が成立します。

このように，複数の抵抗をまとめて1つの抵抗と考えたものを合成抵抗と呼びます。

この合成抵抗の抵抗値を $R$ として回路図をかくと，図の通りになります。

抵抗値が $R$ の合成抵抗に $V$ の電圧がかかっていて，$I$ の電流が流れているという状況です。

オームの法則から，

$$V=RI\stext{\quad……②}$$がそのまま成立します。

2つの抵抗を別々に考える場合も，1つの合成抵抗と考える場合も，見かたを変えているだけで考えている現象は同じです。

よって，① と ② の2式から，

$$R_1I+R_2I=RI \qquad\therefore \quad R_1+R_2=R$$が成立することがわかります。

直流につながれた2つの抵抗を合成した合成抵抗の抵抗値は，元の抵抗の抵抗値の和になるということですね。

並列回路

続いて，次図のように抵抗値がそれぞれ $R_1,\,R_2$ の2つの抵抗 $\rmR_1,\,\rmR_2$ が並列につながれた回路を考えてみます。

電池の電圧を $V$，それぞれの抵抗に流れる電流を $I_1,\,I_2$，回路全体を流れる電流を $I$ とします。

並列につながれている抵抗にかかる電圧は等しくなることが知られています。

この回路では，電池と2つの抵抗がいずれも並列につながれているので，それぞれの抵抗にかかる電圧はいずれも $V$ となります。

各抵抗にかかる電圧がわかっているので，$I_1,\,I_2$ は，オームの法則から計算できます。

それぞれ，

$$I_1=\mskip 4mu\bun{V}{R_1}\mskip 5mu,\ I_2=\mskip 4mu\bun{V}{R_2}\mskip 5mu\stext{\quad……③}$$となりますね。

以上をまとめると次のような回路図が完成します。

それぞれの抵抗を流れる電流の和 $I_1+I_2$ は，回路全体を流れる電流 $I$ に等しくなるので（これがキルヒホッフの第一法則），

$$I=I_1+I_2\stext{\quad……④}$$が成立します。

それでは先ほどと同様に，並列につながれた2つの抵抗を1つにまとめた合成抵抗を考えてみましょう。

合成抵抗の抵抗値を $R$ として回路図をかくと，以下の図の通りになります。

先ほどと同様，抵抗値が $R$ の合成抵抗に $V$ の電圧がかかっていて，$I$ の電流が流れているという状況ですので，オームの法則から，

$$V=RI\qquad\therefore \quad I=\mskip 4mu\bun{V}{R}\mskip 5mu\stext{\quad……⑤}$$が成立します。

直列つなぎのときと同様，抵抗を合成してもしなくても考えている状況は同じです。

よって，③ と ⑤ の式を ④ の式に代入することで，

$$\bun{V}{R}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{V}{R_1}\mskip 5mu+\mskip 4mu\bun{V}{R_2}\mskip 5mu\qquad\therefore \quad\mskip 6mu\bun{1}{R}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{1}{R_1}\mskip 5mu+\mskip 4mu\bun{1}{R_2}\mskip 5mu$$が得られます。

並列につながれた2つの抵抗の抵抗値の逆数の和が，合成抵抗の逆数になるということです。

定性的な解釈

この問題からわかる通り，並列につながれた抵抗の合成抵抗における抵抗値は，もとの2つの抵抗の抵抗値よりも小さくなります。

そもそも抵抗値は「電流の流れにくさ」を表していました。

2つの抵抗が並列につながれたことで，電流が2手に分かれて流れることができ，より通りやすい場所となっているわけですから，合成抵抗の抵抗値が小さくなることは納得できますよね。

一方で，直列につながれている場合は電流が2つの抵抗をそれぞれそのまま通過しないといけないので，抵抗が1つの場合よりも通過しにくい状況になっています。

それゆえ，合成抵抗の抵抗値は元の抵抗の抵抗値よりも大きくなるわけですね。