$\gdef\bun#1#2{\dfrac{#1}{#2}}$ $\gdef\Bun#1#2{\bun{#1}{#2}}$ $\gdef\punit#1{\ [\mathrm{#1}]\,}$ $\gdef{\d}{\mathop{d}{}}$ $\gdef\dx{dx}$ $\gdef\dy{dy}$ $\gdef\dt{dt}$ $\gdef\dv{dv}$ $\gdef\dr{dr}$ $\gdef\dV{dV}$ $\gdef\dP{dP}$ $\gdef\dT{dT}$ $\gdef\dU{dU}$ $\gdef\dI{dI}$ $\gdef\boldrm#1{\mathrm{#1}}$ $\gdef\rmA{\boldrm{A}}$ $\gdef\rmB{\boldrm{B}}$ $\gdef\rmC{\boldrm{C}}$ $\gdef\rmD{\boldrm{D}}$ $\gdef\rmE{\boldrm{E}}$ $\gdef\rmF{\boldrm{F}}$ $\gdef\rmG{\boldrm{G}}$ $\gdef\rmH{\boldrm{H}}$ $\gdef\rmI{\boldrm{I}}$ $\gdef\rmJ{\boldrm{J}}$ $\gdef\rmK{\boldrm{K}}$ $\gdef\rmL{\boldrm{L}}$ $\gdef\rmM{\boldrm{M}}$ $\gdef\rmN{\boldrm{N}}$ $\gdef\rmO{\boldrm{O}}$ $\gdef\rmP{\boldrm{P}}$ $\gdef\rmQ{\boldrm{Q}}$ $\gdef\rmR{\boldrm{R}}$ $\gdef\rmS{\boldrm{S}}$ $\gdef\rmT{\boldrm{T}}$ $\gdef\rmU{\boldrm{U}}$ $\gdef\rmV{\boldrm{V}}$ $\gdef\rmW{\boldrm{W}}$ $\gdef\rmX{\boldrm{X}}$ $\gdef\rmY{\boldrm{Y}}$ $\gdef\rmZ{\boldrm{Z}}$ $\gdef\Deg{^{\circ}}\!$ $\gdef\DegC{\,{}^{\scriptsize\circ\!}\rmC}$ $\gdef\punitDegC{\punit{{}^{\scriptsize\circ\!}\rmC}}$ $\gdef\neareq{\fallingdotseq}$ $\gdef\mss{\punit{m/s^2\,}}$ $\gdef\ms{\punit{m/s}}$ $\gdef\s{\punit{s}}$ $\gdef\m{\punit{m}}$ $\gdef\mm{\punit{m^2}}$ $\gdef\mmm{\punit{m^3}}$ $\gdef\rad{\punit{rad}}$ $\gdef\N{\punit{N}}$ $\gdef\J{\punit{J}}$ $\gdef\cal{\punit{cal}}$ $\gdef\W{\punit{W}}$ $\gdef\g{\punit{g}}$ $\gdef\kg{\punit{kg}}$ $\gdef\K{\punit{K}}$ $\gdef\Hz{\punit{Hz}}$ $\gdef\C{\punit{C}}$ $\gdef\A{\punit{A}}$ $\gdef\V{\punit{V}}$ $\gdef\mol{\punit{mol}}$ $\gdef\NA{N_{\rmA}}$ $\gdef\CV{C_{\rmV}}$ $\gdef\CP{C_{\rmP}}$ $\gdef\Pa{\punit{Pa}}$ $\gdef\SUB#1{_{\mathrm{#1}}}$ $\gdef\vec#1{\overrightarrow{#1}}$ $\gdef\dvec#1{\overrightarrow{#1}}$ $\gdef\stext#1{\text{\small #1}}$ $\gdef\sinh{\sin\theta}$ $\gdef\sinx{\sin x}$ $\gdef\siny{\sin y}$ $\gdef\cosh{\cos\theta}$ $\gdef\cosx{\cos x}$ $\gdef\cosy{\cos y}$ $\gdef\tanh{\tan\theta}$ $\gdef\tanx{\tan x}$ $\gdef\tany{\tan y}$ $\gdef\in{^{\,\mathrm{in}}}$ $\gdef\out{^{\,\mathrm{out}}}$ $\gdef\net{^{\,\mathrm{net}}}$ $\gdef\max{_{\mathrm{max}}}$ $\gdef\min{_{\mathrm{min}}}$

物理基礎 電磁気学

回路①

羽白 いむ

東京大学医学部医学科卒 現役医師
数学のトリセツ共著者
東大指導専門塾鉄緑会 物理・数学科元講師

物理基礎の範囲での回路

先ほどのセクションでキルヒホッフの法則について説明しましたが，本来は範囲外の内容です。

ここでは，キルヒホッフの法則をいったん忘れて，オームの法則を用いながら直列回路，並列回路について確認をしていきましょう。

羽白

キルヒホッフの法則の内容が難しくて飛ばした，という読者の皆さんも，これ以降の内容はしっかりと理解できるように頑張りましょう。

本セクションの最後に，物理基礎の範囲で問題を解く場合と，キルヒホッフの法則を使って問題を解く場合を比較しながら確認していきます。

直列回路

次図のように，抵抗値がそれぞれ $R_1,\,R_2$ の2つの抵抗 $\rmR_1,\,\rmR_2$ がつながれた回路を考えてみます。

回路に接続されている電池の起電力を $V$，回路に流れる電流を $I$ とします。

直列につながれている抵抗は流れる電流が等しくなることが知られています。

この回路を流れる電流は，いずれも $I$ ということになりますね。

「直列につながれている抵抗は流れる電流が等しくなる」のはキルヒホッフの第一法則の内容を踏まえている。キルヒホッフの法則を持ち出さなくても，1本道なので，等しい電気量が流れていくことは当然の話である。

各抵抗にかかる電圧 $V_1,\,V_2$ は，オームの法則 $V=RI$ を用いて求めましょう。

抵抗 $\rmR_1$ の抵抗値は $R_1$，流れる電流は $I$ ですので，かかる電圧は $V_1=R_1I$ として求めることができます。

同様に考えて，抵抗 $\rmR_2$ にかかる電圧は $V_2=R_2I$ です。

オームの法則を用いるときの $V$ は，電池の電圧ではなく，オームの法則を考えている各抵抗の電圧であることに気をつけて下さい。$R$ はその抵抗の抵抗値，$I$ はその抵抗に流れている電流です。

以上をまとめると右のような回路図が完成します。

各抵抗にかかる電圧 $V_1,\,V_2$ の和は電池の起電力 $V$ と等しくなるので（これがキルヒホッフの第二法則），

$$V=V_1+V_2=R_1I+R_2I\text{\quad……\ ①}$$が成立します。

2つの抵抗を別々に考えるとこのような結論になりますが，2つの抵抗をまとめて1つの抵抗とみなした場合はどうなるでしょうか…？

生徒

このように，複数の抵抗をまとめて1つの抵抗と考えたものを合成抵抗と呼びます。

この合成抵抗の抵抗値を $R$ として回路図をかくと，図の通りになります。

非常にシンプルな回路になりましたね！

生徒

抵抗値が $R$ の合成抵抗に $V$ の電圧がかかっていて，$I$ の電流が流れているという状況です。

オームの法則から，

$$V=RI\text{\quad……②}$$がそのまま成立します。

2つの抵抗を別々に考える場合も，1つの合成抵抗と考える場合も，見かたを変えているだけで考えている現象は同じです。

よって，① と ② の2式から，

$$R_1I+R_2I=RI \qquad\therefore \quad R_1+R_2=R$$が成立することがわかります。

直流につながれた2つの抵抗を合成した合成抵抗の抵抗値は，元の抵抗の抵抗値の和になるということですね。

上の例では2つの抵抗で考えたが，直流につながれた3つ以上の抵抗を合成する場合も，合成抵抗の抵抗値は元の抵抗の抵抗値の和となる。

直流につながれた抵抗の合成

直流につながれた抵抗の抵抗値が $R_1,\,R_2$ とき，これらを合成した合成抵抗の抵抗値 $R$ は，

$$R=R_1+R_2$$として計算できる。

並列回路

続いて，次図のように抵抗値がそれぞれ $R_1,\,R_2$ の2つの抵抗 $\rmR_1,\,\rmR_2$ が並列につながれた回路を考えてみます。

電池の電圧を $V$，それぞれの抵抗に流れる電流を $I_1,\,I_2$，回路全体を流れる電流を $I$ とします。

並列につながれている抵抗にかかる電圧は等しくなることが知られています。

この回路では，電池と2つの抵抗がいずれも並列につながれているので，それぞれの抵抗にかかる電圧はいずれも $V$ となります。

「並列につながれている抵抗にかかる電圧は等しくなる」のはキルヒホッフの第二法則の内容を踏まえている。どのルートをたどっても上る高さは同じ，と考えれば当たり前の話である。

各抵抗にかかる電圧がわかっているので，$I_1,\,I_2$ は，オームの法則から計算できます。

それぞれ，

$$I_1=\bun{V}{R_1},\ I_2=\bun{V}{R_2}\text{\quad……③}$$となりますね。

以上をまとめると次のような回路図が完成します。

それぞれの抵抗を流れる電流の和 $I_1+I_2$ は，回路全体を流れる電流 $I$ に等しくなるので（これがキルヒホッフの第一法則），

$$I=I_1+I_2\text{\quad……④}$$が成立します。

それでは先ほどと同様に，並列につながれた2つの抵抗を1つにまとめた合成抵抗を考えてみましょう。

合成抵抗の抵抗値を $R$ として回路図をかくと，以下の図の通りになります。

先ほどと同様，抵抗値が $R$ の合成抵抗に $V$ の電圧がかかっていて，$I$ の電流が流れているという状況ですので，オームの法則から，

$$V=RI\qquad\therefore \quad I=\bun{V}{R}\text{\quad……⑤}$$が成立します。

直列つなぎのときと同様，抵抗を合成してもしなくても考えている状況は同じです。

よって，③ と ⑤ の式を ④ の式に代入することで，

$$\bun{V}{R}=\bun{V}{R_1}+\bun{V}{R_2}\qquad\therefore \quad\bun{1}{R}=\bun{1}{R_1}+\bun{1}{R_2}$$が得られます。

並列につながれた2つの抵抗の抵抗値の逆数の和が，合成抵抗の逆数になるということです。

言葉で表現するとややわかりづらいですね…。

生徒

3つ以上の抵抗を並列につないだ場合も同様。元の抵抗の抵抗値の逆数の総和が，合成抵抗の逆数となる。

並列につながれた抵抗の合成

並列につながれた抵抗の抵抗値が $R_1,\,R_2$ とき，これらを合成した合成抵抗の抵抗値 $R$ は，

$$\bun{1}{R}=\bun{1}{R_1}+\bun{1}{R_2}$$の式を満たす。

例題

右図のように，抵抗値が $20\punit{\Omega}$ の抵抗と $60\punit{\Omega}$ の抵抗が並列につながれている。この2つの抵抗を合成した合成抵抗の抵抗値を求めよ。

並列につながれた抵抗の合成抵抗なので，求める抵抗値を $R\punit{\Omega}$ とすると，

$$\bun{1}{R}=\Bun{1}{20}+\bun{1}{60}=\bun{1}{15}$$が成立する。

よって，$R=15\punit{\Omega}$

定性的な解釈

この問題からわかる通り，並列につながれた抵抗の合成抵抗における抵抗値は，もとの2つの抵抗の抵抗値よりも小さくなります。

そもそも抵抗値は「電流の流れにくさ」を表していました。

2つの抵抗が並列につながれたことで，電流が2手に分かれて流れることができ，より通りやすい場所となっているわけですから，合成抵抗の抵抗値が小さくなることは納得できますよね。

一方で，直列につながれている場合は電流が2つの抵抗をそれぞれそのまま通過しないといけないので，抵抗が1つの場合よりも通過しにくい状況になっています。

それゆえ，合成抵抗の抵抗値は元の抵抗の抵抗値よりも大きくなるわけですね。

-物理基礎, 電磁気学