ヤングの実験②

ヤングの実験②

2025年3月14日

羽白いむ

東京大学医学部医学科卒現役医師
東大指導専門塾鉄緑会物理・数学科元講師
物理基礎のトリセツ著者
数学のトリセツ共著者

1 干渉縞の様子
2 例題
3 $0$ 次の明線

干渉縞の様子

暗線の位置

ヤングの実験における弱め合いの条件は，

$$d\mskip 6mu\bun{x}{l}\mskip 5mu=\left(m+\mskip 4mu\bun12\right)\lambda$$

です。これより，明線の間に暗線が位置することがわかりますね。

干渉縞

このように，ヤングの実験では明線と暗線が交互に並ぶ干渉縞が観察されます。

明線と暗線の間は明暗がなだらかに変化し，スクリーン上の干渉縞の様子は図の通りになります。

$m$ 番目の明線の位置は，強め合いの条件式に $m$ の値を代入して，$x$ について整理することで求めることができますね。

例題

ヤングの実験について，以下の設問に答えよ。ただし，複スリットのスリット間隔を $d$，複スリットとスクリーンの距離を $l$ とし，実験に用いる単色光の波長を $\lambda$ とする。

スクリーンの中心から $x$ だけ離れた位置における弱め合いの条件を求めよ。

明線間隔 $\varDelta x$ を求めよ。

より波長の大きな単色光を用いて同様の実験を行うと，明線の様子はどのように変化するか述べよ。

(1) の解き方

最初から導いてもよいですが，$\varDelta L$ はもはや暗記事項なのでそのまま答えましょう。

ただし今回問われているのは弱め合いの条件（暗線条件）ですので，

$$d\mskip 6mu\bun{x}{l}\mskip 5mu=\left(m+\mskip 4mu\bun12\right)\lambda\quad \stext{\hspace{-.5em}（$m$ は $0$ 以上の整数）}$$

が答えです。

(2) の解き方

こちらでは明線を考えるので，明線条件である，

$$d\mskip 6mu\bun{x}{l}\mskip 5mu=m\lambda$$

を中心に考えましょう。

$m$ に値を代入することで，$m=0$ に対応する明線（$0$ 次の明線）は $x=0$，$1$ 次の明線の位置は $x=\mskip 4mu\bun{l}{d}\mskip 5mu\lambda$，$2$ 次の明線の位置は $x=\mskip 4mu\bun{2l}{d}\mskip 5mu\lambda$，であることがわかりますね。

これより，明線は等間隔に並んでいて，その間隔が $\Bun{l}{d}\mskip 5mu\lambda$ であると考えられます。

一般的には，$m$ 次の明線と $m+1$ 次の明線の間隔を求めれば ok です。

$$\begin{aligned}\varDelta x&=x_{m+1}-x_m\\&=(m+1)\mskip 6mu\bun{l}{d}\mskip 5mu\lambda-m\mskip 6mu\bun{l}{d}\mskip 5mu\lambda\\&=\mskip 4mu\bun{l}{d}\mskip 5mu\lambda\end{aligned}$$

として答えが得られます。

あるいは最初から，$m$ 次の明線の位置 $x_m$ を表す式

$$x_m=m\cdot\mskip 6mu\bun{l}{d}\mskip 5mu\lambda$$

を，公差 $\Bun{l}{d}\mskip 5mu\lambda$ の等差数列と見ることができれば，これを明線間隔としてすぐに答えることもできますね。