反射・屈折の法則の証明

屈折の法則の証明

平面波を用いて

屈折率がそれぞれ $n_1,\,n_2$ であり，媒質中での光の速さがそれぞれ $c_1,\,c_2$ であるような媒質1，2が平面で接触しているものとします。

媒質1から $ \theta_1 $ の入射角で光が入射するものとしましょう。

光は平面波（図中のグレーの線）として考えますが，図のように光の進む向きを光線（色付きの直線）として表現します。

図の2本の光線について，時刻に注目しながら進み方を考えてみましょう。

時刻の対応を考える

左側の光線が点 $\rmA$ に到達した瞬間，右側の光線は点 $\rmB$ に到達しています。

右側の光線が点 $\rmB$ から境界面上の点 $\rmC$ に到達するまでにかかる時間を $t$ としましょう。

この時間の間，左側の光線は点 $\rmA$ から媒質2中へと進んでいきます。

この広がりを素元波として表現すると，上図のような，点 $\rmA$ を中心とする半径 $c_2t$ の円になりますね（速さ $c_2$ で $t$ の時間だけ広がるため！）。

今回は2本の光線で考えていますが，実際には $\rmA\rmB$ 間に存在する他の光線もあるわけです。これらの光も境界面に達すると，素元波として円形に広がりますが，$\rmA$ に近いほどより早く境界面に到達するため，素元波の広がりも大きくなります。

これらの素元波の包絡面が新しい波面となる，というのがホイヘンスの原理でした。

この直線が媒質2中へと進んでいく新しい平面波の波面です。この直線に平行な面として平面波が媒質2中へと進んでいきます。

光線での表現

これを光線で表現してみましょう。先ほど考えた波面に直行する直線になるので，次図の通りですね。

図の通りに点 $\rmD$ を取ると，

$$\rmA\rmD=c_1t,\ \rmB\rmC=c_2t$$

となっています。

これまでの話から，屈折という現象が起こるのは「各媒質中を伝わる波の速さが異なるため」であることがわかりますね！

図形的な議論

さて，図をさらに整理して入射角 $ \theta_1 $ と屈折角 $ \theta_2 $ を図中にかき込んでいきましょう。

入射角も屈折角も，境界面の法線方向から測った角度であることに気をつけると，上図の通りになります。

ここで，$\triangle\rmA\rmB\rmC$ と $\triangle\rmA\rmD\rmC$ に注目してみましょう。辺 $\rmA\rmC$ が共通していますね。

さらに，$\rmB\rmC$ の長さが $c_1t$，$\rmA\rmD$ の長さが $c_2t$ であることがわかっていますので，それぞれの三角形に注目すると，

$$\rmA\rmC=\mskip 4mu\bun{c_1t}{\sin\theta_1}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{c_2t}{\sin\theta_2}\mskip 5mu$$

が得られます！

真空中の光の速さを $c$ とすると，$c_1=\mskip 4mu\bun{c}{n_1}\mskip 5mu$，$c_2=\mskip 4mu\bun{c}{n_2}\mskip 5mu$ ですので，これを代入して整理することで，

$$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$$

が得られます。

ここまでの一連の流れはしっかりと「自分の言葉で説明できるように」理解しておきましょう！

反射の法則の証明

例題を用いて

反射の法則の証明は，例題として考えていきます。

屈折の法則の証明をうまく利用すると速やかに理解できますので，少し時間を取って考えてみてください。

解き方

屈折の法則との違いを考えます。屈折は境界面の先の媒質（媒質2）に進んでいくのに対して，反射は境界の手前の媒質（媒質1）に戻ってきますよね。

つまり，これまで考えていた「屈折の法則の話の図」を，境界面に対して折り返すことで，同様に考えることができます。

今回考える反射では，反射された光が進むのは媒質1の中であり，その速さも $c_1$ です。

点 $\rmA$ で反射された光が点 $\rmD$ に達するまでの時間は $t$ ですので，$\rmA\rmD$ の長さは $c_1t$ です。

$\triangle\rmA\rmB\rmC$ と $\triangle\rmA\rmD\rmC$ に注目して，$\rmA\rmC$ を2通りで表すことで，

$$\rmA\rmC=\mskip 4mu\bun{c_1t}{\sin\theta_1}\mskip 5mu=\mskip 4mu\bun{c_1t}{\sin\theta_2}\mskip 5mu$$

が得られます。これより，$\sin\theta_1=\sin\theta_2$ であることから，$\theta_1=\theta_2$ が得られますね。